Aloha :)
"Eine Polynomfunktion 2-ten Gerades hat bei \(x=4\) eine Nullstelle." Eine Nullstelle in Steckbriefaufgaben ist immer ein besonderes Geschenk, weil wir dadurch sofort wissen, dass das Polynom den Faktor \((x-4)\) enthalten muss. Das Polynom sieht also wie folgt aus:$$p(x)=a(x-4)(x+b)\quad;\quad a\ne0$$Beachte, dass \(a\ne0\) sein muss, sonst steht da \(p(x)=0\). Im Punkt \(P(1;2)\) hat die Gesuchte eine waagerechte Tangente, d.h. \(p'(1)=0\). Die Ableitung von \(p(x)\) ist nach Produktregel:$$p'(x)=a(x+b)+a(x-4)$$$$\Rightarrow\;\;0=p'(1)=a(1+b)-3a=ab-2a\;\;\Rightarrow\;\;ab=2a\;\;\Rightarrow\;\;\underline{b=2}$$Jetzt nutzen wir noch die Koordinaten des Punktes \(P(1;2)\) aus, denn:$$2=p(1)=a(1-4)(1+b)=a(1-4)(1+2)=-9a\quad\Rightarrow\quad \underline{a=-\frac{2}{9}}$$Et voila, haben wir das gesuchte Polynom:$$\underline{p(x)=-\frac{2}{9}(x-4)(x+2)}$$
Dieses Polynom hat offensichtlich die Nullstellen \(x_1=4\) und \(x_2=-2\). Für diese sollst du noch die erste Ableitung, also die Tangentensteigung berechnen. Oben hatten wir:$$p'(x)=a(x+b)+a(x-4)=-\frac{2}{9}(x+2+x-4)=-\frac{2}{9}(2x-2)=-\frac{4}{9}(x-1)$$$$\Rightarrow\quad p'(x_1=4)=-\frac{4}{9}(4-1)=-\frac{12}{9}=-\frac{4}{3}$$$$\Rightarrow\quad p'(x_2=-2)=-\frac{4}{9}(-2-1)=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$$
