Polynomfunktion 2 Grades Nullstelle und Waagrechte tangente

Question

Aufgabe:

Eine Polynomfunktion 2 Gr hat bei x=4 eine Nullstelle und im Punkt P (1/2) eine waagrechte Tangente.

Problem/Ansatz:

Wie lautet die Gleichung der Funktion?

Berechnen die Tangentensteigungen an den Nullstelle der Funktion

Vielen Dank im Voraus für Ihre Hilfe

Answer 1

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Comments

Berechnen die Tangentensteigungen an den Nullstelle der Funktion

f(x) = - 2/9·x² + 4/9·x + 16/9 = - 2/9·(x² - 2·x - 8) = - 2/9·(x + 2)·(x - 4)

f'(x) = 4/9 - 4/9·x

f'(-2) = 4/3 = 1.333

f'(4) = -4/3 = -1.333

Answer 2

Eine Polynomfunktion 2 Gr hat bei x=4 eine Nullstelle und
im Punkt P (1/2) eine waagrechte Tangente.

P ( 1 | 2 ) ist also ein Extrempunkt.
Nach oben oder unten geöffnete Parabel ?
Hoch-oder Tiefpunkt ?
Weiterer Punkt ( 4 | 0 ) => nach unten
geöffnet | Hochpunkt
Scheitelpunktformj
f ( x ) = a * ( x - xs )² + ys
f ( x ) = a * ( x - 1 )² + 2
f ( 4 ) = a * ( 4 - 1 )² + 2 = 0
a * 3² + 2 = 0
a = -2/9

f ( x ) = -2/9 * ( x - 1 )² + 2
Normalform
f ( x ) = -2/9 * ( x - 1 )² + 2
f ( x ) = -2/9 * ( x² - 2x + 1 ) + 2
f ( x ) = -2/9*x² + 4/9 * x + 16/9

Tangensteigungen Nullstellen
1.Ableitung
f ´( x ) = -4/9 * x + 4/9
x = 4
f´( 4 ) = -12/9

x = -2
f ´( -2 ) = + 12/9
Auch erschließbar über die Symmetrie einer Parabel

Answer 3

Eine Polynomfunktion 2 Grades, die im Punkt P (1/2) eine waagrechte Tangente hat, hat dort ihren Scheitelpunkt. Ansatz (Scheitelpunktform) y=a·(x-1)²+2. P(4|0) eisetzen: 0=a·(4-1)²+2. Dann ist a=-2/9. y=-2/9·(x-1)²+2=-2/9(x²-2x+1)+2=-2/9·x²+4/9·x+16/9.

Answer 4

Aloha :)

"Eine Polynomfunktion 2-ten Gerades hat bei $x=4$ eine Nullstelle." Eine Nullstelle in Steckbriefaufgaben ist immer ein besonderes Geschenk, weil wir dadurch sofort wissen, dass das Polynom den Faktor $(x-4)$ enthalten muss. Das Polynom sieht also wie folgt aus:$$p(x)=a(x-4)(x+b)\quad;\quad a\ne0$$Beachte, dass $a\ne0$ sein muss, sonst steht da $p(x)=0$. Im Punkt $P(1;2)$ hat die Gesuchte eine waagerechte Tangente, d.h. $p'(1)=0$. Die Ableitung von $p(x)$ ist nach Produktregel:$$p'(x)=a(x+b)+a(x-4)$$$$\Rightarrow\;\;0=p'(1)=a(1+b)-3a=ab-2a\;\;\Rightarrow\;\;ab=2a\;\;\Rightarrow\;\;\underline{b=2}$$Jetzt nutzen wir noch die Koordinaten des Punktes $P(1;2)$ aus, denn:$$2=p(1)=a(1-4)(1+b)=a(1-4)(1+2)=-9a\quad\Rightarrow\quad \underline{a=-\frac{2}{9}}$$Et voila, haben wir das gesuchte Polynom:$$\underline{p(x)=-\frac{2}{9}(x-4)(x+2)}$$

Dieses Polynom hat offensichtlich die Nullstellen $x_1=4$ und $x_2=-2$. Für diese sollst du noch die erste Ableitung, also die Tangentensteigung berechnen. Oben hatten wir:$$p'(x)=a(x+b)+a(x-4)=-\frac{2}{9}(x+2+x-4)=-\frac{2}{9}(2x-2)=-\frac{4}{9}(x-1)$$$$\Rightarrow\quad p'(x_1=4)=-\frac{4}{9}(4-1)=-\frac{12}{9}=-\frac{4}{3}$$$$\Rightarrow\quad p'(x_2=-2)=-\frac{4}{9}(-2-1)=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$$

Answer 5

Eine Polynomfunktion 2. Grades hat bei $x=4$ eine Nullstelle und im Punkt P $(1|2)$eine waagerechte Tangente.

Da der Scheitelpunkt an der Stelle $x=1$ ist, muss die 2. Nullstelle der Parabel bei $x=-2$ sein. Weiter mit der Nullstellenform der Parabel:

$f(x)=a(x-4)(x+2)$

P $(1|2)$

$f(1)=a(1-4)(1+2)=-9a=2$

$a=-\frac{2}{9}$

$f(x)=-\frac{2}{9}(x-4)(x+2)$