Antwort mit KI erzeugt
Zeige, dass für ein Elemente \([k] \in \mathbb{Z}\) des oben betrachteteten \(\mathbb{Z}\)-Moduls \(V=\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\), \(m>1\) der \(\text{span}\{v\}=V\) genau dann, wenn \(\text{ggT}(k,m) = 1.\)
Um diese Aufgabe zu lösen, betrachten wir zuerst, was es bedeutet, dass \(\text{span}\{v\} = V\). Ein \(\mathbb{Z}\)-Modul \(V=\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\) ist im Wesentlichen alle ganzzahligen Vielfachen von \(1\) modulo \(m\), das heißt, jede Zahl in \(V\) kann als \([a]_m\) geschrieben werden, wobei \(a\) eine ganze Zahl ist, und \([a]_m\) die Äquivalenzklasse von \(a\) modulo \(m\) repräsentiert.
Wenn wir sagen, dass der Span einer Menge, die aus einem Element \([k]\) besteht, gleich \(V\) ist, meinen wir, dass jede Äquivalenzklasse \([a]_m\) in \(V\) als ein ganzzahliges Vielfaches von \([k]\) dargestellt werden kann. Formal ausgedrückt bedeutet dies, dass für jedes \([a]_m \in V\) ein \(n \in \mathbb{Z}\) existiert, so dass \(n[k] = [a]\).
Damit der Span von \([k]\) das gesamte Modul \(V\) umfasst, müssen wir in der Lage sein, durch geeignete Wahl von \(n\), jedes Element \([a]_m\) von \(V\) zu erreichen. Dies ist genau dann möglich, wenn es möglich ist, jede Restklasse in \(V\) durch Multiplikation von \([k]\) mit einem \(n\) zu erreichen.
Dies führt uns zu der Bedingung, dass der größte gemeinsame Teiler (ggT) von \(k\) und \(m\) gleich 1 sein muss. Der ggT \(k, m = 1\) bedeutet, dass \(k\) und \(m\) teilerfremd sind, d.h., sie haben keine anderen gemeinsamen Teiler außer 1. Wenn dies der Fall ist, existiert nach dem erweiterten Euklidischen Algorithmus ein Paar ganzer Zahlen \(x, y\), so dass \(xk + ym = 1\). Wenn man dies modulo \(m\) betrachtet, hat man \(xk \equiv 1 \pmod{m}\), was bedeutet, dass jedes Element \([a]_m\) von \(V\) als \(a(xk) \equiv ax \pmod{m}\) dargestellt werden kann, was zeigt, dass \([k]\) in der Tat ein erzeugendes Element von \(V\) ist, wenn \(\text{ggT}(k, m) = 1\).
Umgekehrt, wenn \(\text{ggT}(k, m) \neq 1\), dann teilt der ggT \(k\) und \(m\), und es ist nicht möglich, durch Multiplikation von \(k\) mit irgendeiner ganzen Zahl \(n\) bestimmte Restklassen zu erreichen, da \(k\) und \(m\) einen gemeinsamen Teiler haben und somit das Produkt \(nk\) niemals ein Element erzeugen kann, dessen ggT mit \(m\) 1 ist für alle \(n\). Dies bedeutet, dass der Span von \([k]\) nicht das gesamte Modul \(V\) erreichen kann, wenn der ggT von \(k\) und \(m\) ungleich 1 ist.
Zusammenfassend zeigen diese Überlegungen, dass \(\text{span}\{v\} = V\) genau dann, wenn \(\text{ggT}(k, m) = 1\).
