Aloha :)
Du hast das "näherungsweise" in Klammern gesetzt, daraus leite ich ab, dass auch eine exakte Berechnung erlaubt ist. Die Lösung ist dir ja bereits als \(\sqrt{2\pi}\) bekannt. Daraus kann man direkt eine Idee ableiten. Wenn irgendwo der Faktor \(\pi\) auftaucht, verbirgt sich im Hintergrund immer irgendwo was Rundes, meistens ein Kreis oder eine Kugel. Zusammen mit der Wurzel kann man daher vermuten, dass das Quadrat dieses Integrals was mit einem Kreis zu tun hat. Sei also$$I=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}dx$$Dann ist
$$I^2=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}dx\cdot\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-y^2/2}dy=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-(x^2+y^2)/2}dx\,dy$$In ebenen Polarkoordinaten können wir den gesamten \(\mathbb{R}^2\) abtasten:
$$r^2=x^2+y^2\;\;;\;\; dx\,dy=r\,dr\,d\varphi\;\;;\;\;r\in[0;\infty]\;\;;\;\;\varphi\in[0;2\pi[$$und daher das Integral wie folgt schreiben:
$$I^2=\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{\infty} e^{-r^2/2}\,r\,dr=\left[\varphi\right]_0^{2\pi}\cdot\left[-e^{-r^2/2}\right]_0^{\infty}=2\pi\cdot1$$Und das gesuchte Integral ist$$I=\sqrt{2\pi}$$Dass nur die positive Lösung in Frage kommt, ist klar, weil die Kurve oberhalb der x-Achse verläuft.
