Integration durch Substitution: Woher kommt die 2?

Question

Ich habe versucht, die Integration durch Substitution durch folgendes Beispiel zu verstehen:

$$\begin{array}{l}{\int e^{0,5 x-4} d x=F(x)=?} \\ {z=0,5 x-4 \quad \frac{d z}{d x}=0,5 \quad d x=\frac{d z}{0,5}} \\ {\int e^{0,5 x-4} d x=\int e^{z} \cdot \frac{d z}{0,5}=2 \int e^{z} d z} \\ {F(x)=2 e^{z}+C=2 e^{0,5 x-4}+C}\end{array}$$

Soweit habe ich es verstanden, außer die letzten beiden Schritte: \( e^z · \frac{dz}{0,5} \), aber warum = 2? Woher kommt die 2?

Answer 1

Der Kehrwert von 0.5 ist 2.

\(\dfrac{dz}{0.5} = \dfrac{dz}{1} \cdot  \dfrac{1}{0.5} = \dfrac{dz}{1}\cdot \dfrac{2}{1} = dz \cdot 2\)

Und dann den Faktor 2 vor das Integral ziehen.

Comments

wofür brauche ich denn den kehrwert

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Um aus der Division zweier Brüche eine Multiplikation zu machen.

Bzw. in diesem Fall die \(\dfrac{1}{0.5}\) als Faktor vor das Integral zu ziehen.

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ich kann doch einfach *0,5 machen da verschwindet es ja auch aus dem bruch?

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Du hast keine Gleichung.

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aso lol dann muss ich also den kehrwert bilden damit es vor den integral geht ?

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\(\dfrac{dz}{0.5} = \dfrac{dz}{1} \cdot  \dfrac{1}{0.5}\)

Also kannst du auch \(\dfrac{1}{0.5}\) vor das Integral ziehen, aber das ist gleich zwei.

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vielen dank die letzte antwort war ausschlaggebend :)

Answer 2

es wurde substituiert und

0.5x -4= z und  dx=dz/0.5 gesetzt

1/0.5=2 , das ist ein Konstante und wurde vor das Integral geschrieben.

Answer 3

Aloha :)

Es wurde \(z:=0,5x-4\) gesetzt. Wenn du das nach \(x\) ableitest, \(\frac{dz}{dx}=0,5\), und das nach dem Differential \(dx\) umstellst, \(dx=\frac{dz}{0,5}=2\,dz\), findest du deine gesuchte \(2\).

Comments

verstehe ich nicht :(

wenn man dann e^z *  dz / 0,5 was soll man da eigentlich machen? nach was auflösen könntest du das vielleicht erläutern und wenn ich 0,5 aus dem bruch hole kann ich ja einfach *0,5 machen

Answer 4

Leite f(x) ab und du kommst leicht auf das Integral bei dieser e-Funktion.