Finden Sie alle komplexen Zahlen, welche konjugiert zu ihrem Quadrat sind.

Question

Also die Frage steht ja oben. Soweit ich das verstanden habe lautet die Gleichung

z* = z^2


Aber wie mach ich da jetzt weiter??

Answer 1

hm

(a + b·i)^2 = a - b·i
a^2 - b^2 + 2·a·b·i = a - b·i

2·a·b = - b
a = - 1/2

a^2 - b^2 = a
1/4 - b^2 = - 1/2
b^2 = 1/2 + 1/4 = 3/4
b = ± √3/2

Es gibt also 2 Komplexe Zahlen:

z1 = - 1/2 + √3/2·i
z2 = - 1/2 - √3/2·i

Comments

mE schliesst die Fragestellung die Lösungen z3 = 1 + 0i = 1 und z4= 0 + 0i=0 nicht aus.

In der Rechnung oben ab hier noch eine Fallunterscheidung:

2·a·b = - b     

Fall b=0.

a² - b² = a -----> a² = a

a² - a = 0

a(a-1) = 0

a1= 0

a2=1

Lösungen: z3 = 1 + 0i = 1 und z4= 0 + 0i=0

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Ja. Du hast recht. Zu den komplexen Zahlen gehören ja auch die reellen Zahlen. Ich hatte beim Lösen zuerst gedacht das die reellen Zahlen nicht gesucht sind, aber weil die ja auch komplex sind gehören sie auch dazu.

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Wie seid ihr von

a^2 - b^2 + 2·a·b·i = a - b·i

auf

2·a·b = - b

gekommen?

Und wie auf

a^2-b^2=a ?

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(a² - b²) + (2·a·b)·i = (a) + (- b)·i

Du vergleichst hier den Realteil und den Imaginäranteil getrennt voneinander.

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Das habe ich dann auch bemerkt.

Dann ist folgendes bestimmt auch machbar für dich oder?

Bestimmen sie die Lösungsmenge der Gleichung z-|z|=1+2i

Es gilt ja z=x+iy und |z|=√(x²+y²)

 

Dann bekomme folgendes heraus

x_1/2=+/- √(1/2)i

Kann das stimmen? Wie schreib ich das als Lösungsmenge?

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z - |z| = 1+2i

Du hattest ja schon richtig ersetzt

a + b·i - √(a² + b²) = 1 + 2·i

Nun untersucht man wieder Real und Imaginärteil getrennt.

a - √(a² + b²) = 1

b = 2

Wir können also für b direkt einsetzen

a - √(a² + 2²) = 1
a - √(a² + 4) = 1
√(a² + 4) = a - 1
a² + 4 = a² - 2a + 1
4 = - 2a + 1
2a = -3
a = -1.5

Dieses ist aber wie wir durch einsetzen sehen, keine Lösung.

L = {}