Maximum beweisen von max(A) + max(B)

Question

Für A,B ⊂ R definieren wir die Summenmenge
A + B = ⟨a + b : a ∈ A; b ∈ B⟩
Wir nehmen an dass A und B ein Maximum besitzen. Zeigen Sie, dass dann auch A + B ein Maximum besitzt, und
max(A + B) = max(A) + max(B)
Dabei ist das Maximum einer Menge wie folgt defniert:
x = max(A) :↔ x ∈ A ∧ ∀a ∈ A : a ≤ x

Ich wüsste nicht wie ich überhaupt mit dem Beispiel anfangen sollte.
Bitte um Hilfe
Vielen Dank im Voraus!

Comments

Guck vielleicht auch noch einmal, was A+B bedeutet => Minkowski-Summe.

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Hier wurde so was mal für reelle Zahlen diskutiert: https://www.mathelounge.de/45022/rechenregeln-fur-maximum-reelle-zahlen-beweise-max-max-max

Answer 1

max(A + B) = max(A) + max(B)

Nach der Def. des Max. musst du nur beweisen:

1. Die reelle Zahl max(A)+max(B) ist ein Element von A+B und

es gilt  2.   max(A)+max(B)  ≥ x für alle x ∈ A+B.

zu 1: Da   max(A) ∈  A und max(B) ∈  B gilt nach Def. von A+B

auch      max(A)+max(B)   ∈  A+B .

zu 2: Sei nun x∈  A+B .

==>  Es gibt    a    ∈   A   und  b   ∈   B   mit    x = a+b

Nach Def. von Max gilt aber   max(A)  ≥ a und max(B)  ≥ b

Nach den Regeln über Ungleichungen also

max(A) + max(B)   ≥ a + b  = x.    q.e.d.