Optimale Faktorkombination der Produktionsfunktion F(x1, x2) = 8·x1^2 + 80·x1·x2 + 7·x2^2

Question

kann mir hierbei jemand bitte helfen? Ich komme einfach nicht darauf ..

Aufgabe: F(x1,x2)= 8x₁^2+80x₁*x₂+7x₂^2

Man bestimme die optimale Faktorkombination zu den Faktorpreise 100 und 91 wenn das Produktionsniveau von 5074 gegeben ist.

Wie hoch sind die minimalen Kosten ?

Mein Ansatz:

L(x1,x2,lambda)= 100x1+91x2-lambda(8x1^2+80x1x2+7x2^2-5074)

Dann leite ich nach x1, x2 und lambda mit der part. Ableitung ab und erhalte eine Variable in der eine weitere Unbekannte (x1,x2) drin ist ... wie löse das Problem am besten ?

Bitte wenn es geht die Lösung und den Lösungsweg hinschreiben

Merci schon im Voraus !!

Answer 1

Rechnung erfolgt grundsätzlich wie unter https://www.mathelounge.de/661016/kann-mir-bitte-jemand-dieser-aufgabe-helfen-ware-sehr-dankbar

Wenn du dazu noch fragen hast stell sie am besten dort.

Comments

                                                                               Ok ich hab den Rechenweg davon angewandt und bei mir kommt eine sehr merkwürdige Zahl heraus. Bzw. ich glaub der Fehler ist bei der Gleichung 100/(16x-80y)=91/(80x-14y)

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L(x, y, k) = 100·x + 91·y - k·(8·x^2 + 80·x·y + 7·y^2 - 5074)

L'x(x, y, k) = 100 - k·(16·x + 80·y) = 0 → k = 100/(16·x + 80·y)

L'y(x, y, k) = 91 - k·(80·x + 14·y) = 0 → k = 91/(80·x + 14·y)

100/(16·x + 80·y) = 91/(80·x + 14·y) --> y = 818/735·x

8·x^2 + 80·x·(818/735·x) + 7·(818/735·x)^2 = 5074 --> x = 6.928337680

Der Rest sollte dann klar sein.

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Ja vieeeelen herzlichen Danke !! Du hast mir wieder sehr geholfen :)