Aufgabe:
Sei A=B=[0,1]⊂ℝ und K die Cantormenge.
f : A×B→ℝ definiert durch
f(x,y):= (1 , falls x∈A∩K und y∈B∩ℚ; ansonsten 0)
Zeige, die Funktion f ist Riemann-integrierbar.
Zeige weiterhin, die Funktion fx : B→ℝ ,fx(y):=f(x,y):B→ℝ ist nur für x∈A\K, nicht aber für x∈K Riemann-integrierbar.
Problem/Ansatz:
Der zweite Teil der Aufgabe ist mir klar. Denn wenn x∈A\K, ist die Funktion immer 0 und somit die Schwankungssumme auch gleich 0 und damit kleiner als jedes beliebige Epsilon, somit ist die Funktion Riemann integrierbar. Ist x∈K, so springt die Funktion bei allen y∈ℚ auf 1 und somit ist die Schwankungssumme 1 und somit nicht Riemann-integrierbar.
Nun ist mir aber nicht klar, warum die Funktion f(x,y) Riemann-integrierbar sein sollte, da dort doch ebensolche Sprünge enthalten sind und somit auch hier die Schwankungssumme 1 sein müsste?
