Mengenlehre zwischen zwei Gleichungen

Question

ich bin gerade bei der Aufgabe, indem es um die Mengenlehre geht, ich habe nun bei a) versucht mir das Bildlich mit 3 Kreisen, jeweils für beide Gleichungen darzustellen und bin der Meinung, dass die erste falsch ist, allerdings bin ich mir da noch nicht sicher. Ich hoffe es gibt hier jemanden der mir die Lösung für a) und eventuell auch b) beweisen kann.

\( L, M, N \) sind beliebige Mengen. Untersuchen Sie die folgenden Gleichungen und begründen Sie, ob sie wahr oder falsch sind:
a) \( L \cup(N \backslash M)=(L \cup N) \backslash(M \backslash L) \)
b) \( M \cap(L \backslash N)=(M \cup L) \backslash(M \cap N) \)

Comments

Keiner hier der helfen kann? :(

Answer 1

Das 2. ist jedenfalls falsch:

Wähle als Gegenbeispiel

L={1;2;4;5}

N={2;3;5;6}

M={4;5;6;7}

Dann ist M ∩ (L\N)

         = {4;5;6;7}  ∩ {1;4}

         = { 4 }

ABER:   ( M ∪ L ) \  (M ∩ N)

= {1;2;4;5;6;7} \ {5;6}

= {1;2;4;7}

a) ist richtig. Kannst du mit dem Tipp beweisen oder auch direkt:

x ∈ L ∪  ( N \ M )

<=>  x ∈ L oder   x ∈  ( N \ M )

<=>  x ∈ L oder   ( x ∈   N   und  x ∉ M )

<=> ( ( x ∈ L) oder   ( x ∈   N )  )  und ( ( x ∈ L) oder ( x ∉ M ))

<=>    x ∈ L ∪   N    und    x ∉ M \ L

<=>    x ∈ (L ∪   N)    \  ( M \ L ) 

Comments

Also ich hab mir auch mittlerweile Aufgabe b) bildlich dargestellt und kam auch zu dem Entschluss, dass es falsch ist. Kann ich beim Gegenbeispiel jede beliebige Zahl für L,N,M einsetzen oder wie soll ich da am besten vorgehen? :)

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Gegenbeispiel kannst du wählen wie du willst, musst nur

schauen, dass es bei dem Beispiel auch wirklich nicht stimmt.

Answer 2

A\B kann man als \(A\cap\overline{B}\) schreiben. Jetzt Distributivgesetz anwenden...