Ich denke Du sollst aus den \( n \) Realisierungen \( x_1, ... , x_n \) der gleichverteilten Zufallsvariablen \( X \) die Endpunkte des Intervalls \( [ -\theta, +\theta] \) rekonstruieren.
Die Dichte ist gegeben durch
$$ h_\theta(x) = \begin{cases} 1, & \text{wenn } x \in [-\theta,+\theta] \\ 0, & \text{wenn } x \notin [-\theta,+\theta] \end{cases} $$
Sei \( m = \min\{x_1, ... ,x_n\} \) und \( M= \max\{x-1, ... ,x_n\} \)
Dann ist die Likelihood-Funktion gegeben durch
$$ L(\theta) = \frac{1}{(2\theta)^n} \prod_{i=1}^n \chi_{[-\theta,+\theta]}(x_i) = \frac{1}{(2\theta)^n} \chi_{[-\theta,+\theta]} (\max(M,m)) $$ wobei \( \chi(\cdot) \) die charakteristische Funktion ist.
Es gilt \( L(\theta) = 0 \) wenn \( \theta < M \) oder \( -\theta > m \)
Das Maximum bzgl. \( \theta \) lohnt sich nur zu suchen, wo \( L(\theta) = 1 \) gilt, also für \( M \le \theta \) und \( m \ge -\theta \)
Da die Funktion \( \frac{1}{(2\theta)^n} \) streng monoton fallend ist, wird das Maximum für das kleinst mögliche \( \theta \) angenommen für das gilt \( M \le \theta \) und \( -m \le \theta \) also für \( \theta^* = \max\{M,-m\} \)
