Nachweis dass R eine Äquivalenzrelation ist. Sei M:=ℝ und sei R:={(x,y): (x,y) ∈ M×M, x-y ∈ ℤ} eine Relation.

Question

Aufgabe:

Sei M:=ℝ und sei R:={(x,y): (x,y) ∈ M×M, x-y ∈ ℤ} eine Relation.

Wie weist man in diesem Fall die Reflexivität, Symmetrie und Transitivität nach? Und wie bildet man die Äquivalenzklasse, wenn diese Relation eine Äquivalenzrelation ist?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Wie ist Äquvalenzrelation definiert?

3 Eigenschaften muss die Relation haben: reflexiv, sym., transitiv.

Diese 3 muss man beweisen:

1. (a,a) muss drin sein. Stimmt auch denn a-a=0∈ℤ

2. Wenn (a,b) , dann (b,a). Stimmt das? (a,b) heißt, a-b∈ℤ, dann -(a-b)=b-a∈ℤ, dann (b,a) drin
 
3. (a,b) und (b,c), dann soll (a,c) gelten.

Stimmt denn: (a,b) heißt a-b∈ℤ, (b,c) heißt b-c∈ℤ.

Dann (a,c) ???

a-c =a-b+b-c=(a-b)+(b-c)∈ℤ
Damit ist das eine Äquvalenzrelation

In einer Äquivalenzklasse sind alle reellen Zahlen, die in einer der möglichen Dezimalzahldarstellung dieselben Nachkommastellen habe (Die fallen nämlich beim Subtrahieren weg, so dass eine ganze Zahl entsteht.)

Bsp: 2,7; -5,7; 0,69999999....

Comments

Vielen Dank!

Und wenn nun die Relation als |x-y| < 1 definiert wäre? Dann ist die Relation schon mal reflexiv, da |x-x| = 0 <1 und auch symmetrisch, da |x-y| = |y-x| <1.

Ist diese Relation dann auch transitiv? Und wenn ja, wie ist die Äquivalenzklasse?

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nicht trans

3,9-3<1

3-2,1<1

⇒3,9-2,1<1 falsch, (überall Beträge dazu)