Ungleichungen mit Fakultät und Exponent n beweisen per Induktion

Question

Heyy Leute ;

bin mal wieder am verzweifeln.

Meine Aufgabe :Beweisen Sie die folgenden Ungleichungen fur alle n ∈ N>0 und k ∈ N0 mit k ≤ n:

(a) n^n ≤ (2n)!

Mein Ansatz

IA : für n=1 eingesetzt , stimmt

IV: (n+1)ⁿ⁺¹ ≤ (2n+2)!

Bei dem letzten Schritt bin ich etwas verwirrt.

IS : (2n+2)! = (2n)! * (2n+1) * (2n+2) > n^n* (2n+1) * (2n+2) .... ab hier weiß ich leider nicht mehr weiter

b)\( \begin{pmatrix} 2n  \\ k \end{pmatrix} \) ≤  \( \begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix} \)  Bei der b) komm ich auch bei der Induktionsschluss nicht weiter ://
Brauche Hilfe und Erklärung

Comments

Vielleicht klappt's mit dem Ansatz \(\left(1+\frac1n\right)^n<3<2(2n+1)\).

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Vom Duplikat:

Titel: Ungleichungen per Induktion beweisen

Stichworte: induktion

Heyy Leute ;

bin mal wieder am verzweifeln.

Meine Aufgabe :Beweisen Sie die folgenden Ungleichungen fur alle n ∈ N>0 und k ∈ N0 mit k ≤ n:

(a) n^n ≤ (2n)!

Mein Ansatz

IA : für n=1 eingesetzt , stimmt

IV: (n+1)ⁿ⁺¹  ≤(2n+2)!

Bei dem letzten Schritt bin ich etwas verwirrt.

IS : (2n+2)! = (2n)!* (2n+1)*(2n+2) > n^n* (2n+1)*(2n+2) .... ab hier weiss ich leider nicht mehr weiter

b)\( \begin{pmatrix} 2n  \\ k \end{pmatrix} \) ≤  \( \begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix} \)  Bei der b) komm ich auch bei der Induktionsschluss nicht weiter ://
Brauche Hilfe und Erklärung

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Du kannst vermutlich eine Substitution k = 2n und dann https://www.mathelounge.de/286739/ungleichung-mit-fakultat-zeigen-vollstandiger-induktion verwenden, bzw. den dortigen Beweis umschreiben.

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Was ist die exakte Aufgabenstellung?

Variante  1:

Beweisen Sie die folgenden Ungleichungen fur alle n ∈ N>0 und k ∈ N0 mit k ≤ n:

Variante 2:

Ungleichungen mit Fakultät und Exponent n beweisen per Induktion

Wenn es nicht explizit gefordert ist, ist ein Induktionsbeweis überflüssig.

Answer 1

Hallo

n^n*(2n+1)*(2n+2)<n^n*n=n^(n+1)

b) schreibe mit Fakultäten.

Comments

Hier müsste man aber (n+1)ⁿ⁺¹  haben oder nicht?  Und nicht nⁿ⁺¹