Gerade parallel zu Ebene und durch zwei Punkte

Question

Aufgabe:

Sei E die Ebene mit der Gleichung -2x + y +2z = 14

Sei P ein Punkt mit Koordinaten ( 2|1|3)

Sei L eine Gerade die durch den Punkt P1(-1|1|2) geht und den Richtungsvektor (1|2|-1) hat.

\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} -1\\1\\2 \end{pmatrix} \)  + s\( \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} \)

Finde den Richtungsvektor von eine Gerade durch P, die parallel zu Ebene E ist und die Gerade L schneidet.

\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 2\\1\\3 \end{pmatrix} \)  + k\( \begin{pmatrix} v1\\v2\\v3 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Ich hab es probiert zu lösen. Die RV der gesuchten (nehmen wir an mit Koordinaten (v1v2,v3)   gerade soll orthogonal mit dem Normalvektor der Ebene sein. Diese Normalvektor der Ebene würde (-2. 1. 2) sein . Skalarprodukt von RV der gerade und Normalvektor der Ebene soll 0 sein, damit

-2*v1 + v2 + 2*v3 =0

andererseits haben wir zwei schneidende Geraden. d.h:

 -1 + s = 2 + v1 * k

1 + 2s = 1 + v2 * k

2 + s = 3 + v3 * k

ich kann irgenwie das nicht weiterlösen, hab probiert zu ersetzen und so, ich verstehe dass ich 4 gleichungen mit 4 unbekannte habe aber irgendwie diese Teil * k verwirrt mir sehr um das als Matrix zu lösen.

Ich bitte euch um Hilfe,

LG

Answer 1

([-1, 1, 2] + s·[1, 2, 1] - [2, 1, 3])·[-2, 1, 2] = 0 --> s = -2

[-1, 1, 2] - 2·[1, 2, 1] - [2, 1, 3] = [-5, -4, -3]

Man kann bei Richtungsvektoren auch ein beliebiges Vielfaches nehmen. Daher hätte ich hier [5, 4, 3] als Richtungsvektor angegeben.

Comments

ich brauche nicht nur eine gerade die parallel zur Ebene steht sondern dass sie auch mit die andere gerade L schneidet. Laut unsere Aufgabe existiert nur eine solche Gerade so ich hab nicht so gut verstanden wie ich diese RV beliebig nehmen kann.

Danke

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Ich habe doch den RV mit [5, 4, 3] ausgerechnet. Jetzt prüfe doch mal ob diese Gerade parallel zur Ebene E ist und ob sie L schneidet. Wenn ja ist man fertig, wenn nein müsste man mal schauen wo ich einen Fehler gemacht habe.

Answer 2

Wenn die gesuchte Gerade h durch P geht und parallel zu E ist, liegt sie in

einer zu E parallelen Ebene  durch P.

Diese hat z.B. die Gleichung -2x + y +2z = 3 .

Schneide diese Ebene mit L und du hast einen

Punkt von Q von h.

Die Verbindung von P und Q ist dann ein möglicher Richtungsvektor.

Comments

ja ich hab das verstanden aber es gibt auch eine zweite Teil der Aufgabestellung wo es gesagt ist dass diese Aufgabe durch ein Punkt gehen muss und auch schneidend mit die Gerade G sein muss.

Danke

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Wer ist G ? Und durch welchen Punkt soll es gehen ?

Answer 3

-2*v1 + v2 + 2*v3 =0

Multipliziere die Gleichung mit k.

-2*k*v1 + k*v2 + 2*k*v3 =0

-1 + s = 2 + v1 * k

1 + 2s = 1 + v2 * k

2 + s = 3 + v3 * k

Stelle die Gleichungen um.

-3 + s =  v1 * k

 2s =  v2 * k

-1 + s =  v3 * k

Setze in die erste Gleichung ein:

6-2s+2s-2+2s=0

2s=4

s=2

v1*k=-3-2=-5

v2*k=2*(-2)=-4

v3*k=-1-2=-3

Das k darf beliebig gewählt werden, da der Richtungsvektor einer Geraden beliebig verlängert, d.h. mit einer Zahl ungleich Null multipliziert werden darf.