Offen- und Abgeschlossenheit von Mengendifferenzen

Question

ich kann die folgenden zwei Aufgaben nicht beweisen. Könnte mir da jemand helfen?

$$ \begin{array}{l}{\text { Offen- und Abgeschlossenheit von Mengendifferenzen }} \\ \\ {\text { Sei }(X, d) \text { ein metrischer Raum. Seien } A \subseteq X \text { eine abgeschlossene und } U \subseteq X \text { eine offene }} \\ {\text { Teilmenge. Zeige: }} \\ {\begin{array}{ll}{\text { (a) Die Menge } U \backslash A \text { ist offen. }}\\  {\text { (b) Die Menge } A \backslash U \text { ist abgeschlossen. }} \\ \\ {\text { Definition. Eine Teilmenge } M \subseteq X \text { ist genau dann abgeschlossen, wenn } M^{c}:=X \backslash M \text { offen ist. }}\end{array}}\end{array} $$

Vielen Dank!

Answer 1

(a) Sei x ∈ U\A.

Sei ε = inf {r ∈ ℝ | ∃a ∈ A: r = d(x, a)}.

ε ist wohldefiniert, weil {r ∈ ℝ | ∃a ∈ A: r = d(x, a)} nach unten beschränkt und ℝ vollständig ist.

Zeige, dass ε > 0 ist. Das geht zum Beispiel indem du aus der Annhame ε = 0 einen Widerspruch herleitest.

Definition. Eine Teilmenge M⊆X ist genau dann abgeschlossen, wenn M^c:=X∖M offen ist.

Ich hoffe du weißt auch was innere Punkte und Häufungspunkte sind und kennst deren Zusammenhang mit Offenheit und Abgeschlossenheit.

Comments

Danke für deine Antwort schon mal. Ich habe in dem Thema noch gewisse Defizite, weswegen ich mit deinen Tipps leider noch nicht viel anfangen kann. Ich weiß aber was innere Punkte, Häufungspunkte sind, zumindest denke ich das.

Du hast geschrieben $$ \epsilon = inf(r \in \mathbb R | \exists a \in A : r = d(x,a))$$. Was ist dieses Epsilon hier genau? Ich verstehe das als den kleinsten "Radius" der A-Kugel. Aber wieso kann dieser nicht 0 sein? Und wie hilft das mir weiter? ..

---

Was ist dieses Epsilon hier genau?

Laut Definition ist es der Radius der Kugel um x, so dass bei kleinerem Radius keine Punkte von A in der Kugel um x liegen.

Ist dieser Radius größer als 0, dann liegen in der Kugel um x mit Radius ε/2 nur noch Punkte von X\A.

Aber wieso kann dieser nicht 0 sein?

Wenn ε = 0 wäre, dann würde in jeder Umgebung um x ein Punkt aus A liegen. Es gibt einen Namen für solche x.

innere Punkte und Häufungspunkte ... und ... deren Zusammenhang mit Offenheit und Abgeschlossenheit.

Was weißt du denn dahingehend?

---

_{Ok was hältst du davon:}

a)

U⊆X ist offen heißt:

Für alle x ∈ U\A existiert ein ε > 0 : B_ε(x) ⊆ U (Mit  B_ε(x) der Ball mit dem Radius Epsilon)

Beweis:

Sei x ∈ U\A

Sei ε := inf {r ∈ ℝ | ∃ a ∈ A : r = d(x,a) mit a ∈ ∂A (Wobei ∂A der Rand von a ist)

Zu zeigen: ε > 0

Nehme ε = 0 an. Dann gäbe es ein r = 0 = d(x,a), also wäre x = a, somit wäre x  ∈ U\A und x ∈ A und x ∈ ∂A und x ∈ ∂U\A. Da A abgeschlossen ist, würde gelten: x ∈ A. Das ist ein Widerspruch, somit muss ε > 0 sein.

Deswegen gilt: ∀x ∈ U\A ∃ ε/2 > 0 : B_ε/2(x) ⊆ U\A, was impliziert, dass U\A offen ist.

---

Dann gäbe es ein r=0

Die Existenz einer Zahl r mit gewissen Eigenschaften zu postulieren macht eigentlich nur dann Sinn, wenn man den konkreten Wert der Zahl nicht kennt.

Im Wesentlichen hast du gesagt: "Es gibt eine 0".

0 = d(x,a)

Das stimmt so nicht. Zum Beispiel U = ℝ und A = (3, ∞).

Dann ist U\A = (-∞, 3]

Keine Zahl aus A hat von der 3 ∈ U\A den Abstand 0. Trozdem ist für x = 3 obiges Infimum 0.

Ich dachte eher in folgende Richtung:

Wenn ε = 0 ist, dann liegen in jeder Umgebung um x Punkte aus A. Dann ist x Häufungspunkt von A. Wegen x ∉ A ist A nicht abgeschlossen. Das ist ein Widerspruch zu der Voraussetzung, dass A abgeschlossen ist.

---

Erstmal vielen dank für deine Antworten. Sie haben mir sehr geholfen!

Ich fasse nochmal zusammen und kommentiere dabei:

Sei x ∈ U\A

Definiere: ε := inf{r ∈ ℝ | ∃ a ∈ A : r = d(a,x)}

(Kommentar: Epsilon ist der kleinste Abstand zwischen dem Punkt x aus der Menge U\A und dem Punkt a aus der Menge A)

Zeige: Es gilt ε > 0

Nehme an ε = 0.

⇒Für jede B_ε(x)-Umgebung gilt: ∃ a ∈ A: a ∈ B_ε(x)  (1)

(Kommentar: Ist "für jede Umgebung um x" gleichbedeutend mit "für unendlich viele Umgebungen um x"?

(Kommentar: Ist die Vorstellung richtig, dass hier das x mehr oder weniger auf den Rändern von U\A und A liegen müsste?)

⇒x ist ein HP von A.

(Kommentar: Das würde ich verstehen wenn die obige Aussage "für unendlich viele Umgebungen um x" gelten würde)

⇒Da laut Definition x ∉ A, ist A keine abgeschlossene Menge. Das ist ein Widerspruch.

Die Annahme ε = 0 war also falsch. Es gilt somit ε > 0.

(Kommentar: Das bedeutet ja jetzt, dass der kleinste Abstand zwische a und x größer als 0 ist)

Dann habe ich gesagt, dass daraus folgt:

⇒ ∀x ∈ U\A  ∃ a ∈ A : ∃ ε/2 >0 : B_ε/2(x) ⇒ U\A ist offen

(Kommentar: Weil ε ja gerade der kleinste Abstand zwischen a und x ist, muss ja das a so etwas wie der Rand(bildlich vorgestellt) von A sein. Und wenn jetzt B_ε(x) eine Kugel um x ist, dann liegt der Rand dieser Kugel ja unmittelbar neben a. Wenn ich jetzt ε/2 fordere, dann liegt die Kugel B_ε/2(x) nun sicherlich nicht mehr neben a, sondern nur noch in U\A. Und da so eine Kugel für jedes x existiert, gilt das U\A offen sein muss)

Ich hoffe das liegt ganze passt so, ansonsten lasse ich die Aufgabe. Ich kann ja nicht mal sagen wo mein Verständnisproblem ist. Zu viele verschiedene Begriffe überschneiden sich zur Zeit bei mir glaube ich.

---

Ist "für jede Umgebung um x" gleichbedeutend mit "für unendlich viele Umgebungen um x"?

Ist es nicht. Zum Beispiel würde auch "jede Umgebung mit Radius > 1/2 um x" unendlich viele Umgebungen zulassen.

Ist die Vorstellung richtig, dass hier das x mehr oder weniger auf den Rändern von U\A und A liegen müsste?

Ja.

Das würde ich verstehen wenn die obige Aussage "für unendlich viele Umgebungen um x" gelten würde

• In der 1/2-Umgebung um x liegt ein Punkt von A.
• In der 1/4-Umgebung um x liegt ein Punkt von A.
• In der 1/8-Umgebung um x liegt ein Punkt von A.
• In der 1/16-Umgebung um x liegt ein Punkt von A.
• In der 1/32-Umgebung um x liegt ein Punkt von A.
• Und so weiter.

∀x ∈ U\A ∃ a ∈ A : ∃ ε/2 >0 : B_ε/2(x) ⇒ U\A ist offen

Das kann ich nicht entziffern

(1)        Für jedes x ∈ U\A gibt es ein ε >0, so dass B_ε(x) ∩ A leer ist.

Außerdem gibt es für jedes x ∈ U ein ε >0, so dass B_ε(x) Teilmenge von U ist.

Ist B_ε(x) ⊆ U und 0 < δ < ε, dann ist auch B_δ(x) ⊆ U. Wählt man dieses δ kleiner als das laut (1) existierenden ε, dann ist

        B_δ(x) ⊆ U

        B_δ(x) ∩ A = ∅

also

        B_δ(x) ⊆ U\A.

Somit ist x innerer Punkt von U\A.

---

Danke dir. Du hast mir bereits sehr geholfen!

Kann ich die b) dann so ähnlich machen?:

(1) Sei x ∈ A\U

Definiere ε := inf{r ∈ ℝ | ∃ u ∈ U: r=d(x,u)}

U ist offen, somit existiert für jedes u ∈ u ein δ > 0, sodass B\(_{δ} \)(x) ⊆ U.

Daraus folgt, dass ε > 0 ist.

Somit existiert für jedes x  ∈ A\U so ein ε >0, sodass

(2) B\(_{ε} \)(x) ∩ U ≠ ∅ und B\(_{ε} \)(x) ∩ A\U ≠ ∅

Aus (1) und (2) folgt, dass x ein Randpunkt von A\U ist.

Somit ist A\U abgeschlossen.

---

Sei x ∈ A\U

...

Aus (1) und (2) folgt, dass x ein Randpunkt von A\U ist.

Dann hättest du gezeigt, dass A\U vollständig aus Rand besteht, und kein Inneres hat. Irgendwas kann da also nicht stimmen.

Für Abgeschlossenheit ist es auch gar nicht interessant, ob x Randpunkt ist. Interessanter ist, ob A\U Randpunkte hat, die nicht zu A\U gehören. Dann wäre A\U nämlich nicht mehr abgeschlossen.

U ist offen, somit existiert für jedes x ∈ U ein δ > 0, sodass B_δ(x) ⊆ U.

Daraus folgt, dass ε > 0 ist.

Das folgt nicht. Zum Beispiel U = (-∞, 3), A = [3, ∞), x= 3. Dann ist ε = 0.

Es ist A\U = (A^c ∪ U)^c.

A^c ist offen weil A laut Voraussetzung abgeschlossen ist.

U ist offen laut Voraussetzung.

Ac ∪ U ist offen weil es endliche Vereinigung offener Mengen ist.

(Ac ∪ U)^c ist abgeschlossen weil es das Komplement einer offenen Menge ist.

Ich fürchte man hätte sich das Herumhantieren mit Epsilons und Deltas auch bei (a) sparen können.