Surjektivität von n->(n+1) mod k zeigen

Question

Hallo :)

Aufgabe:

Untersuchen sie folgende Abbildung auf In-, Sur-, und Bijektivität, und geben sie ggf. eine Umkehrabbildung an:

f : ℤ→ℤ_k , n↦(n+1) mod k, wobei k∈ℕ beliebig

Problem/Ansatz:

Nach meinem Verständnis sollte f surjektiv, aber nicht injektiv sein, und deshalb auch nicht bijektiv, weswegen es keine Umkehrabbildung gibt.

Die nicht vorhandene Injektivität kann ich doch mit einem Gegenbeispiel widerlegen (z.B. k=3, n₁=2 und n₂=5 ⇒ f(2) = f(5) ) oder?

Wie ich aber die Surjektivität zeige, erschließt sich mir nicht ganz. Sie sollte ja vorhanden sein, da ℤ_k={1,2,...,k-1}, und es für y∈ℤ_k immer mind. ein x∈ℤ gibt, für das y=f(x) gilt.

Mein Ansatz wäre "y = (x+1) mod k" nach x aufzulösen. Allerdings weiß ich nicht, wie ich mod k aufgelöst bekomme.

Ist der Ansatz stimmig, und wenn ja, wie bekomme ich "mod k" aufgelöst?

Vielen Dank schonmal im Voraus.

Answer 1

Hallo

ℤk={1,2,...,k-1} da fehlt 0

2. du kannst ein n aus Z angeben, für jedes Element aus Zk die du ja i nennen kannst mit i=0 bis k-1

3. mit nicht injektiv  durch Gegenbeispiel hast du recht.

Gruß lul

Comments

Danke für die Antwort. Daran schließt sich für mich die Frage an, wie ich formal aufschreibe, dass für alle i∈{0,1,...,k-1} ein Element von ℤ getroffen wird.

Theoretisch könnte man doch das Urbild f^-1(ℤ_k)={n∈ℤ|f(n)∈ℤ_k} bilden, und hätte dann halt {n} für die gilt, dass f(n)=i. Nur weiß ich halt nicht, wie ich das Urbild von (n+1) mod k bilden kann.

Oder geht das auch einfacher?