Gegenbeispiel einer Aussage

Question

Aufgabe:

Finden Sie ein Gegenbeispiel das zeigt, dass folgende Aussage allgemein nicht gilt:

Seien M₁,M₂,...,M_n Mengen, sodass

\(  \underset{j=1} {\overset{n} \cap} M_{j}=\varnothing \)

Dann gilt auch M_j ∩ M_k = ∅
für alle j ≠ k mit j, k ∈ {1,...,n}.

Problem/Ansatz:

Eine leere Menge kann ja unendlich viele Mengen haben, wenn ich das nicht falsch verstanden habe.

Also könnte ich behaupten M1={1}, M2={1,2} und M3={1,2,3} ???

Bitte gebt mir eine freundliche und ausführlich antwort, ich habe mit der Mengenlehre etwas Probleme.

Gruß Wayne139

Answer 1

Wenn man alle n Mengen miteinander schneidet, und das Ergebnis ist leer, bedeutet dass noch nicht, dass die Schnittmenge nur zweier Mengen davon leer sei.

Gegenbeispiel:

M₁ = {1, 2}

M₂ = {2, 3}

M₃ = {4, 5, 6}

M₁ ∩ M₂ = {2}

M₁ ∩ M₂ ∩ M₃ = {}