Gegeben sind die Ebene E und der Punkt P. Berechnen Sie: Parameterform, HNF, Schnittpunkte ....

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Ebene E: \( \left\langle\left[\begin{array}{l}{1} \\ {2} \\ {2}\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right]\right) = 4 \) und der Punkt P = (1, 3, 3,). Berechnen Sie:

a) die Schnittpunkte A1, A2, A3 mit den drei Koordinatenachsen und eine Parameterform der Ebene E,
b) die Hessesche Normalenform von E und den Abstand d des Punktes P von der Ebene E ,
c) eine Parameterform der Schnittgeraden von E mit der Ebene F : z = 0.

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Vom Duplikat:

Titel: Aufgaben zur Ebene in Normalenform

Stichworte: abstand,ebene,spur

1) Gegeben ist \( \begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix} \) ·\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) =4. Gesucht:

a) die Schnittpunkte A1, A2, A3 mit den drei Koordinatenachsen und eine Parameterform der Ebene E,

b) die Hessesche Normalenform von E und den Abstand d des Punktes P von der Ebene E,

c) eine Parameterform der Schnittgeraden von E mit der Ebene F : z = 0 .

Problem/Ansatz

Brauche Hilfe bei den Aufgaben, es geht bei a um Spurpunkte der Ebene, ich weiß wie es in der Koordinatenform ausgerechnet wird, aber hier bin ich überfragt. Bei b habe ich 3LE raus stimmt das? Aufgabe c) verstehe ich nicht.

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Genau die gleiche Aufgabe.

Answer 1

E: x + 2y + 2z = 4

a) die Schnittpunkte A1, A2, A3 mit den drei Koordinatenachsen und eine Parameterform der Ebene E.

A1 = [4, 0, 0]
A2 = [0, 2, 0]
A3 = [0, 0, 2]

Du solltest eine Parameterform über diese drei Punkte aufstellen können oder?

b) die Hessesche Normalenform von E und den Abstand d des Punktes P von der Ebene E.

[x, y, z] * [1/3, 2/3, 2/3] - 4/3 = 0
d = [1, 3, 3] * [1/3, 2/3, 2/3] - 4/3 = 3

c) eine Parameterform der Schnittgeraden von E mit der Ebene F : z = 0.

Eine Gerade über die Punkte A1 und A2 aufstellen solltest du auch schaffen oder?

Comments

Checke c) leider nicht... :/

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Du schaffst es keine Gerade durch die Punkte A1 und A2 aufzustellen?

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Klar eine Gerade von A1 = [4, 0, 0] A2 = [0, 2, 0] , aber ist nur das gesucht ? Wäre doch viel zu einfach..

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Naja. Das wissen das du einfach nur zwei Punkte von E brauchst, die sich auch in F befinden scheint ja nicht so einfach gewesen zu sein. Sonst hättest du es ja einfach machen können.

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Stimmt, danke dir, hast mich gerettet. :D

Answer 2

und muss die Pflichtaufgaben morgen abgeben

Und da fängst du schon am späten Sonntagnachmittag an? Montag 6 Uhr hätte auch genügt.

Die Ebenengleichung lautet also x+2y+2z=4.

Ein Punkt, der auf der x-Achse liegt, hat als y- und als z-Koordinate jeweils 0. Damit solltest du auch die x-Koordinate der Schnittpunkts von Ebene und x-Achse erhalten.

Answer 3

a) \( \begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix} \) ·\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) =4

In Koordinatenform: x+2y+2z=4

In Achsenabschittsform:\( \frac{x}{4} \) +\( \frac{y}{2} \) +\( \frac{z}{2} \) =1

Schittpunkt mit der x-Achse: (4|0|0)

Schittpunkt mit der y-Achse: (0|2|0)

Schittpunkt mit der z-Achse: (0|0|2).

Comments

Ja genau so kann ich es ja auch, nur steht da aber Parameterform.

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Wenn du die drei Schnittpunkte PQR mit den Achsen kennst, dann ist die Parameterform  \( \vec{x} \) =\( \vec{OP} \) +r·\( \vec{PQ} \) +s·\( \vec{PR} \) .