Trigonometrische Funktion berechnen

Question

Ich soll alle reellen Lösungen zu folgendenden Funktionen finden:

a) \( \sqrt{1+sin(2x)} \) =3cos(x) − sin(x)

b) 5^2x-1 + 5^2x+1 = 3^3x-2 + 3^3x+2

c) e^x + 4e^-x = 5

Ich verstehe leider noch nicht so wirklich, wie die ganzen Umformungen funktionieren...

sin (2x) = 2sin x cos x z.B steht in einer Formelsammlung, aber ich weiß nicht, was mir das bringt, muss ich aus diesem Dschungel an Formeln und Umformungen meine Gleichung so umbauen, dass ich z.B die pq Formel benutzen kann oder wie soll ich das umformen? Mein Skript hilft mir leider gar nicht und im Internet find ich nix außer entweder triviales oder zu kompliziert, als dass ich es verstehe...

Comments

Quadiere erst einmal beide Seiten.

\(1+2\sin{x}\cos{x}=9\cos^2{x}-6\sin{x}\cos{x}+\sin^2{x}\)

Zur Kontrolle der unten angegebenen Lösung von Gast jc2144

https://www.desmos.com/calculator/hvjxhzvlgg

Answer 1

quadriere die Gleichung.

1+sin(2x)=(3cos(x)-sin(x))^2

auf der linken Seite nutzt du die Doppelwinkelformel und rechts multiplizierst du aus:

1+2cos(x)sin(x)=9cos^2(x)+sin^2(x)-6cos(x)sin(x)

1=9cos^2(x)+sin^2(x)-8cos(x)sin(x)

Es ist cos^2(x)+sin^2(x)=1

Damit

0=8cos^2(x)-8cos(x)sin(x)

0=8cos(x)*(cos(x)-sin(x))

Bekommst du jetzt die Nullstellen des Produktes heraus?

Zum Schluss Probe machen.

Comments

Verstehe den Schritt nicht sorry :(

Wieso wird denn wenn ich aus der Wurzel von 1 + sin(2x) nicht einfach 1 + sin(2x) sondern 2sin x * cos x?? Und woher kommen die -6 sin x * cos x? Gibt es da irgendwie ne Seite wo ich das nachlesen kann?

---

Wieso wird denn wenn ich aus der Wurzel von 1 + sin(2x) nicht einfach 1 + sin(2x) sondern 2sin x * cos x

Das weißt du doch schon:

sin (2x) = 2sin x cos x z.B steht in einer Formelsammlung

Und woher kommen die -6 sin x * cos x?

Auf der rechten Seite die 2.te binomische Formel anwenden.

Viele trig. Zussammenhänge findest du auf

https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie

---

Achso stimmt, hab ichverstanden.

Also wird aus 9cos²(x)+sin²(x) = 1 und die subtrahierst du dann nach links, jetzt wundere ich mich allerdings wo die 8cos² x herkommen?

Danach würde ich es mit der pq Formel probieren?

---

   9cos^2(x)+sin^2(x)

=8cos^2(x)+(cos^2(x)+sin^2(x))

=8cos^2(x)+1

Danach wurde 1 auf beiden Seiten der Gleichung abgezogen.

Zum Schluss musst du die Nullstelle n von

cos(x) bzw. cos (x)-sin(x) finden.

---

Ich verstehs nicht, tut mir leid, hab die Formelsammlung zweimal durchgelesen...

Ich verstehe, dass cos² x + sin² x = 1 ist, bzw. ich nehm einfach mal so hin, dass es so ist.

Aber wieso dann aus den 9cos² x aufeinmal 8cos² x werden versteh ich nicht... ich glaub ich gebs auf. Danke für deine Hilfe !! bin einfach zu blöd

/edit

Du machst aus den 9cos² x einfach 8cos² x + cos² x weils dann ja auch 9cos² x ist.

Aber das bringt dir, dass du die Doppelwinkelformel benutzen kannst. Ich hab in den letzten Tagen soviel Formeln gesehen, dass ich kein einfaches Mathe mehr kann.

---

Ich verstehe, dass \(cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\) ist, bzw. ich nehm einfach mal so hin, dass es so ist.

das solltest Du nicht einfach so hinnehmen, dass folgt aus dem Satz des Pythagoras! Wenn Du Dir das im Einheitskreis anschaust, so sollte das verständlich sein:

Der blaue Winkel sei \(x\). Dann ist die Länge der gelben Strecke \(\sin(x)\) und die Länge der roten Strecke \(\cos(x)\). Das Dreieck ist ein rechtwinkliges und dort gilt$$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1^2=1$$so kann man sich das auch viel besser merken!

---

Danke für die Erklärung!

Answer 2

b) 5^(2x)/5 + 5^(2x)*5 = 3^(3x)/3^2 + 3^(3x)*9

26/5*5^(2x) = 82/9*3^(3x)

(5^2/3^3)^x = 82/9* 25/27 = 205/117

x = ln(205/117)/ln(25/27) = ...

c) e^x+4e^-x = 5| *e^x

e^2x-5e^x+4 =0

e^x= z

z^2-5z+4=0

(z-1)(z-4)= 0

z1=1

z2=4

e^x=1 → x=0

e^x=4 → x= ln4