Tangenten an Parabel... (mit rechter Winkel)?

Question

Aufgabe:

Zwei Tangenten an die Normalparabel können sich rechtwinklig schneiden. Was lässt sich dann über den Schnittpunkt sagen?

Problem/Ansatz:

Ich habe das ganze mal gezeichnet bzw. zeichnen lassen. Ich weiß, dass die Leitlinie der Punkte der "Thaleskreis" der Parabel ist, allerdings kann ich das nicht beweisen. Kann mir jemand weiterhelfen? Ich danke im Voraus.

Answer 1

es lässt sich relativ einfach geometrisch zeigen, dass der Schnittpunkt zweier orthogonaler Tangenten an einer Parabel immer auf der Leitlinie der Parabel liegt.

https://jsfiddle.net/o83r5hm4/

Oben ist eine Parabel mit Brennpunkt \(F\) und Leitlinie (blau) gezeichnet. Man wähle einen beliebigen Punkt \(P\) auf der Parabel und fälle das Lot (schwarz) auf die Leitlinie. Der Fußpunkt des Lotes sei \(X\). Die Tangente (grün) in \(P\) ist die Mittelsenkrechte der Strecke \(XF\). Eine zweite Tangente in \(P'\) steht genau dann senkrecht auf der in \(P\), wenn die zugehörige Strecke \(FX'\) senkrecht auf \(FX\) steht.

Das Dreieck \(\triangle XX'F\) ist ein Rechtwinkliges und der Mittelpunkt \(S\) seines Umkreises (hellblau) - der der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von \(XF\) und \(FX'\) ist - liegt somit auf der Hypotenuse \(XX'\) und damit auf der Leitlinie.

Verschiebe den Punkt \(X\) mit der Maus - der Schnittpunkt \(S\) bleibt auf der Leitlinie.

Gruß Werner

Comments

Danke für die Mühe !!

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Danke für die Mühe !!

es freut mich, wenn ich Dir helfen konnte :-)

Answer 2

Zwei Tangenten an die Normalparabel können sich rechtwinklig schneiden. Was lässt sich dann über den Schnittpunkt sagen?

Erst mal kannst du etwas über die Steigungen m1 und m2 der beiden Tangenten sagen.

Nämlich m1 * m2 = -1

Nun die Steigungen ausrechnen
y = x^2

y ' = 2x

Also gilt für die beiden Berührstellen x1 und x2 die Gleichung:

(2x1) * (2x2) = -1

D.h. x1 * x2 = -1/4 .

Bsp 1.      x1 = -1/2, x2 = 1/2 (Es gibt viele andere Möglichkeiten).

Stelle die beiden Tangentengleichungen auf und bestimme den Schnittpunkt der beiden Tangenten.

Dann für weitere Tangentenpaare die Gleichungen aufstellen und den Schnittpunkt bestimmen.

Zum Schluss vielleicht dann noch allgemein. 

Comments

Was ist mit dem "Thaleskreis" als Leitlinie? Und wieso muss m1*m2= -1 sein? Wegen dem rechten Winkel oder?

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Und wieso muss m1*m2= -1 sein? Wegen dem rechten Winkel oder?

Richtig.

Was ist mit dem "Thaleskreis" als Leitlinie?

1. Google mal Thaleskreis, falls du den (nicht mehr) so genau kennst.

2. Sobald du die Ortskurve der Punkte hast, kannst du dich mit dem Begriff Thaleskreis der Parabel auseinandersetzen.

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1. Google mal Thaleskreis, falls du den (nicht mehr) so genau kennst.

2. Sobald du die Ortskurve der Punkte hast, kannst du dich mit dem Begriff Thaleskreis der Parabel auseinandersetzen.

Ich weiß, dass alle Schnittpunkte der Tangenten, die sich im 90° Winkel schneiden auf dem Thaleskreis liegen, mit dem Abstand der Berührpunkte als Durchmesser. Allerdings weiß ich nicht, wie man genau die Berührpunkte wählen muss, sodass aus der Tangente keine Sekante wird. (Ich hoffe du weißt was ich mein...)

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Ich hab die doch den Zusammenhang der Berührstellen berechnet:

D.h. x1 * x2 = -1/4 .

Bsp 1.      x1 = -1/2, x2 = 1/2 (Es gibt viele andere Möglichkeiten).

Nun einfach noch zu den x-Werten, die y-Werte ausrechnen. Dann hast du die Berührpunkte. Danach Tangentengleichungen aufstellen. (Die Steigungen kennst du ja auch schon (m1 und m2))

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Die Berührpunkte spannen ja eine Strecke auf. Auf dieser Strecke kann man dann ein Thaleskreis bilden, auf dem nur ein Punkt existiert, wo sich die Tangenten zu den Berührstellen im 90°-Winkel schneiden oder? Das heißt zu jedem 90°-Winkel-Schnittpunkt von den Tangenten existiert nur ein Thaleskreis oder?

Answer 3

Hallo

 dann nimm doch einen beliebigen Punkt auf der Leitgeraden für die Normalparabel also (a,-0,5) und leg die 2 Tangenten davon an die P und zeige, dass das Produkt der Steigungen -1 ist.

Gruß lul

Comments

Es gibt einen schönen rein geometrischen Beweis, bist du daran interessiert?

lul

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Sehr gerne:) Dankeschön

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Hallo

 ich hatte nicht gesehen , dass Werner schon den Beweis hatte, wenn du in seiner Zeichnung die Verbindung der 2 M zeichnest ist sie waagerecht (und ScheitelpunktTangente) und Diagonale in dem Rechteck FMSM damit auch  S von MM gleich weit entfernt wie S also auf der Leitlinie.

Gruß lul