Für welche komplexen Zahlen z ∈ ℂ ist {z,z²} im ℝ -Vektorraum ℂ linear unabhängig?

Question

Aufgabe:

die Aufgabe steht oben im Titel.

Problem/Ansatz:

Ich stehe gerade total auf dem Schlauch und weiß nicht wirklich wie ich da ran gehen soll. Bin für jeden Ansatz dankbar.

Answer 1

Zwei Vektoren \(\neq 0\) sind genau dann linear abhängig,

wenn jeder ein skalares Vielfaches des anderen ist.

Der Fall \(z=0\) ist trivial. Sei daher \(z\neq 0\). Lineare

Abhängigkeit von \(z\) und \(z^2\) bedeutet dann, dass es eine

reelle Zahl \(r\) gibt mit \(z^2=r\cdot z\), also \(z=r\), d.h.

lineare \(\mathbb{R}\)-Abhängigkeit liegt genau dann vor,

wenn \(z\) reell ist.