Ist doch ausführlich erklärt von Larry, aber hier nochmal wirklich, wirklich ausführlich:
Du hast die Umformung für \(\frac{3x^4}{x^3} + 2\cdot {\frac{\color{red}{x}}{\color{red}{x^3}}} - \frac{\color{red}1}{\color{red}{x^3}}\) mit \(3x+2x^2+x^3\) angegeben, was aber falsch ist. Deshalb hier die richtige Berechnung von \(\frac{x}{x^3}\):
\(\frac{x}{x^3}=\frac{\color{red}x}{\color{red}x\cdot x \cdot x}\). Weil nun aber \(\frac{\color{red}x}{\color{red}x\cdot x \cdot x}=\frac{\color{red}1}{\color{red}{1}\cdot x\cdot x}\) ist (wir haben \(x\) mit \(x\) gekürzt), haben wir \(\frac{x}{x^{3}}=\frac{\color{red}1}{x^{\color{red}2}}\). Also ist deine Umformung falsch.
Außerdem gilt, dass \(\frac{\color{red}{1}}{x^{\color{blue}{1}}}=\color{red}{1}\cdot x^{\color{blue}{-1}}\). Also ist \(\frac{\color{red}{1}}{x^{\color{blue}2}}=\color{red}{1}\cdot x^{\color{blue}{-2}}\), was aber nur eine andere Schreibweise für einen Bruch ist. (nur für \(x\neq 0\))
Desweiteren ist \(\frac{1}{x^3}\) nicht das gleiche wie \(x^3\). Das kannst du ganz einfach nachprüfen:
Setze für \(x=2\) ein, dann hast du \(\frac{1}{2^3}\neq 2^3\), also \(\frac{1}{8}\neq 8\).
Kannst du mir nun deine richtige Umformung sagen? Also \(3x+ \dots\)
Also, nun zu deinem konkreten Beispiel:
\(\frac{3x^4+2x-1}{x^3}=\frac{3x^4}{x^3} +{\frac{{2x}}{{x^3}}} - \frac{1}{{x^3}}=3x+\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x^3}=3x+2\cdot x^{-2}+1\cdot x^{-3}\) davon kannst du jetzt einfacher das bestimmte Integral \(\displaystyle\int\limits_{1}^{2}3x+2\cdot x^{-2}+x^{-3}\;dx\) berechnen.
