Residuum an Singularität berechnen

Question

Aufgabe:

Hi, ich sitze schon seit Stunden an dieser Aufgabe und komme einfach nicht weiter.

Ich soll alle Singularitäten der folgenden Funktionen finden und dort jeweils das Residuum bestimmen.

$$f(z) = \frac{1}{(z^2+1)^3}$$

Problem/Ansatz:

Die Funktion hat ja 2 dreifache Pole, nämlich bei $$z_0 = \pm\ i$$ Mir ist jetzt leider nicht klar, wie ich an die Berechnung des Residuums rangehen soll. Die Methoden, die wir hierzu in der Vorlesung hatten, führen nicht zum Erfolg.

Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Answer 1

\( \operatorname{res}(z)=\frac{1}{(k-1) !} \lim \limits_{z \rightarrow z_{0}} \frac{d^{k-1}}{d z^{k-1}}\left(z-z_{0}\right)^{k}*f(z) \)

 k=3

------>

res(i)= (-3i)/16

res(-i)= 3i/16

Comments

Danke dir für deine Antwort. Bin inzwischen auch selbst darufgekommen. Hab die Reihenentwicklung der Funktion verwendet und daraus dann den Vorfaktor $$a_{-1} = \mathrm{Res_{z_0}}(f)$$ abgelesen.