Wahrscheinlichkeit 50:50 - Umkehrschluss?

Question

Folgende Argumenation verstehe ich nicht:

(aus dem Buch "Das Ziegenproblem. Denken in Wahrscheinlichkeiten." von G. v. Randow):

"Angenommen, die Urne sei von einem Zufallsapparat bestückt worden. Der Apparat ließ schwarze und weiße Bälle mit einer Wahrscheinlichkeit von je 1 / 2 hineinkullern. Wenn wir nicht in die Urne hineinsehen, können wir jetzt sagen: Die Chance, eine weiße Kugel zu ziehen, beträgt deshalb 1 / 2 – dennoch kann es sein, dass in der Urne beispielsweise mehr schwarze als weiße Kugeln liegen."

Wie kann das sein? Wenn in der Urne doch mehr schwarze als weiße liegen können, wie kann die Wahrscheinlichkeit weiterhin 1/2 sein?

Comments

Wie kann das sein? Wenn in der Urne doch mehr schwarze als weiße liegen können, wie kann die Wahrscheinlichkeit weiterhin 1/2 sein?

Aber Du weißt doch gar nicht, ob da mehr schwarze bzw. weiße Kugeln liegen. Theoretisch könntest Du die Urne auch einfach entfernen und Dir vom Apparat eine neue Kugel ausgeben lassen. Der Informationsgehalt ist dann derselbe und auch hier könnte man ja mehrere Kugeln der gleichen Farbe hintereinander bekommen (und die Wahrscheinlichkeit ist dennoch 1/2).

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"Die Chance, eine weiße Kugel zu ziehen, beträgt deshalb 1 / 2 – dennoch kann es sein, dass in der Urne beispielsweise mehr schwarze als weiße Kugeln liegen."

Wenn es sein kann, "dass in der Urne mehr schwarze als weiße Kugeln liegen", wie kann dann die Wahrscheinlichkeit 1/2 sein?

Wenn bspw. 10 schwarze und 5 weiße drin sind...

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Die Betonung liegt auf, "wenn es sein kann". Es kann aber auch sein, dass der Automat 10 schwarze Kugeln in Reihenfolge ausspuckt. Dennoch hat der Apparat eine Wahrscheinlichkeit von je 1/2 pro Farbe.

Wir wissen einfach nicht was in der Urne ist, deshalb könnten wir sie genausogut weglassen und den Apparat bitten eine neue Kugel auszuwerfen.

Answer 1

Hallo

die Betonung liegt auf: "nicht in die Urne sehen"

 Wir wissen nur dass die Maschine mit der Wk 1/2 weisse und schwarze Kugeln eingeschmissen hat. Unser Wissen ist also eingeschränkt! eben auf die 1/2 der Maschine.

Gruß lul

Answer 2

Nehmen wir mal an der Apparat lässt nur eine Kugel rein kullern. Dann ist die Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel zu ziehen

P(weiß wird gezogen) = P(weiß wird gezogen | weiß wurde hinein gekullert) + P(weiß wird gezogen | schwarz wurde hinein gekullert)
P(weiß wird gezogen) = 0.5 * 1 + 0.5 * 0 = 0.5

Das gleiche kannst du jetzt machen für 2, 3, ..., n Kugeln werden hinein gekullert.

Die Wahrscheinlichkeit bleibt immer 1/2. Solange du nicht weißt wie der Automat die Urne bestückt hat.