Funktionenschar und Wendetangente: f_{a}(x)= (1/2)* x³ - a*x² +(1/2)* a² * x

Question

Aufgabe:

Die Tangente im Wendepunkt an den Graphen G_a schließt a > 0 mit den Koordinatenachsen jeweils ein Dreieck ein. Begründen Sie, dass dieses Dreieck im I. Quadranten liegt und ermitteln Sie den Wert des Parameters a für den Fall, dass das beschriebene Dreieck gleichschenklig ist.
f_a(x)= (1/2)* x³ - a*x² +(1/2)* a² * x
Ich habe als Tangentengleichung folgende Gleichung bekommen:
y_a=-(29/54) *a² *x+(32/81)* a³

Ich weiß nicht, wie ich weiter kommen könnte........

Comments

Hast du schon eine Skizze ähnlich wie bei https://www.mathelounge.de/632567/tangente-bei-einer-kurvenschar-fa-x-a-x-1-2-x ? Wenn ja, bitte als Kommentar nachreichen. So nimmst du den Antwortenden vielleicht einen Teil der Arbeit ab.

Answer 1

hier meine Berechnungen

Wendepunkt ( 2*a/3 | a^3/27 )
Steigung im Wendepunkt - a^2/6

Tangente
y = m * x + b
a^3/27 = -a^2/6 * 2a/3 + b
b = 4a^3 / 27

t ( x ) = -a^2/6 * x + 4a^3/27

Dreieckspitze ( 0 | 4a^3 / 27 ) bei a > 0 : y ist positiv

Nullpunkt der Tangente auf der x-Achse
-a^2/6 * x + 4a^3/27 = 0
x = 8a/9  bei a > 0 : x ist positiv

Die Tangente führt im Dreieck durch den
durch den 1.Quadranten.

Gleichschenkliges Dreieck bei
m = -1 ( 45 ° nach unten )
m = -a^2/6 = -1
a^2/6 = 1
a^2 = 6
a = √ 6

Eine graphische Überprüfung war soweit ok.

Answer 2

Ich habe als Tangentengleichung folgende Gleichung bekommen:
y_a=-(29/54) *a² *x+(32/81)* a³

Korrekt ist

        y_a = -a²/6·x + 4/27·a³ .

Begründen Sie, dass dieses Dreieck im I. Quadranten liegt

Die Steigung ist negativ und der y-Achsenabschnitt ist positiv.

ermitteln Sie den Wert des Parameters a für den Fall, dass das beschriebene Dreieck gleichschenklig ist.

Das Dreieck ist gleichschenklig wenn Nullstelle und y-Achsenabschnitt der Geraden gleich sind.

Answer 3

f_a(x) = \( \frac{1}{2} \)x³ - ax² + \( \frac{1}{2} \)a²x
f_a´(x) = \( \frac{3}{2} \)x² - 2ax + \( \frac{1}{2} \)a²
f_a´´(x) = 3x- 2a
f_a´´´(x) = 3

Die Funktion f_a auf Wendepunkte untersuchen:
notw. Krit.: f_a´´(x) = 0
3x - 2a = 0
3x = 2a
x = \( \frac{2}{3} \)a
hinr. Krit.: f_a´´(x) = 0 und f_a´´´(x) ≠ 0
f_a´´´(\( \frac{2}{3} \)a) = 3 > 0 → r.l.Wendepunkt W(\( \frac{2}{3} \)a / f_a(\( \frac{2}{3} \)a))

f_a(\( \frac{2}{3} \)a) = \( \frac{1}{2} \) • (\( \frac{2}{3} \)a)³ - a • (\( \frac{2}{3} \)a)² + 0,5a² • (\( \frac{2}{3} \)a)

f_a(\( \frac{2}{3} \)a) = \( \frac{1}{27} \)a³

→ W(\( \frac{2}{3} \)a / \( \frac{1}{27} \)a³)

Wendetangente bilden:

m = f_a´(\( \frac{2}{3} \)a) = \( \frac{3}{2} \) • (\( \frac{2}{3} \)a)² - 2a • \( \frac{2}{3} \)a + \( \frac{1}{2} \)a²

m = -\( \frac{1}{6} \)a²

→ t(x) = -\( \frac{1}{6} \)a² • x + n

x, y von W in t(x) liefert n:

\( \frac{1}{27} \)a³ = -\( \frac{1}{6} \)a² • \( \frac{2}{3} \)a + n

\( \frac{1}{27} \)a³ = -\( \frac{1}{9} \)a³ + n

n = \( \frac{4}{27} \)a³

→ t(x) = -\( \frac{1}{6} \)a² • x + \( \frac{4}{27} \)a³

Die Tangente t befindet sich im ersten Quadranten, weil sie eine negative Steigung und einen positiven y-Achsenabschnitt besitzt.

Parameter a ermitteln:

Für Gleichschenkligkeit gilt: m = 1 oder m = -1.
Da die Tangente im ersten Quadranten ist, muss m = -1 gelten.

m = -1
-\( \frac{1}{6} \)a² = -1
a² = 6
a₁=√6
(a₂=-√6) → entfällt, weil a > 0 sein muss.

Für den Fall, dass das Dreieck gleichschenklig ist, muss a = √6 betragen.

Comments

Danke für die Zusammenfassung :)