Zeigen, dass Folge, die rekursiv definiert ist, konvergiert

Question

Aufgabe:

Die Folge (a_n)_n>=1 sei folgendermaßen rekursiv definiert:

a1 = 3

und an+1 = sqrt(9 + a_n-1) (n >=1)

Zeigen sie das die folge konvergiert und bestimmen sie den Grenzwert!

Problem/Ansatz:

um zu zeigen das sie konvergiert muss ich ja zeigen das sie beschränkt ist und monoton wachsend ist, wie zeige ich das am besten?

Wollte das mit Induktion lösen, hat aber irgendwie nicht funktioniert.

Comments

Da es ein alter Test von einer Übung aus meiner Uni ist, kann ich leider nicht sagen warum a₀ nicht definiert ist.

Answer 1

Laut a_n+1 = sqrt(9 + a_n-1) (n >=1) müsste a₂ = a₁₊₁ = √(9 + a_1-1) = √(9 + a₀) sein, aber a₀ ist nicht definiert.

Answer 2

Da es ein alter Test von einer Übung aus meiner Uni ist, kann ich leider nicht sagen warum a0 nicht definiert ist.

Bei einer schriftlichen Prüfung und wenn die Zeit knapp ist, schreibst du einfach hin, dass die Folge nur für ungerade Indizes definiert ist und daher nichts zur Konvergenz von Folge (an)n≥1 ausgesagt werden kann. Fertig. Nächste Frage berarbeiten.

Sollte es sich um eine mündliche Prüfung handeln (auch bei einer schriftlichen Prüfung), solltest du erkennen, dass die Folge nur für ungerade Indizes definiert ist. Das erwähnen und (wenn du willst / wenn die an der mündlichen Prüfung anwesenden Personen das wollen) die Teilfolge auf Konvergenz untersuchen. So kannst du etwas über einen möglichen Häufungspunkt aussagen, aber nicht über die Konvergenz der Folge. Antwort bezieht sich auf folgende rekursive Definition einer Folge:

a₁ = 3

und a_n+1 = sqrt(9 + a_n-1) (n >=1)