Zeigen, dass V die direkte Summe von Kern und Bild

Question

Aufgabe:

Es seien $K$ ein Körper und $\mathcal{U}, \mathcal{V}, \mathcal{W}$ drei $K$ -Vektorräume. Weiter seien $f\in \operatorname{Hom}(\mathcal{U}, \mathcal{V})$ und $g\in \operatorname{Hom}(\mathcal{V}, \mathcal{W})$ so, daß $g\circ f$ ein Isomorphismus ist. Zeigen Sie
$\mathcal{V}=\operatorname{Bild}(f) \oplus \operatorname{Kern}(g)$

 Ansatz:

Ich habe bereits gezeigt, dass Bild(f)∩Kern(g)  = {0}. Weiß jemand von euch, wie man zeigt, dass V = Bild(f) + Kern(g) ?

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Hallo,

Für $v \in V$ zerlege: $v=p+q$ mit

$$p=f \circ(g \circ f)^{-1} \circ g (v)$$

Dann ist $q=v-p$ im Kern von g.

Gruß

Comments

Vielen Dank!!!!! Okay, und $q \in Kern (g)$, da

$g(v - p) = g(v) - g(p) = g(v) - (g \circ f)((g \circ f)^{-1}(g(v))) = g(v) - g(v) = 0$

Alles klar!