Betrachten Sie die folgendem Funktionen f, g: (0, 1) → mit Funktionswerten...

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die folgenden Funktionen f, g: (0, 1) → ℝ mit Funktionswerten

f(x) =  \( \frac{exa(x)}{x-1} \) und g(x) = \( \frac{x^2 -1 }{2ln(x)} \)

a) Begründen Sie, dass die Funktionen jeweils stetig sind

b) Genau eine der beiden Funktionen hat einen Fixpunkt. Welche und Warum?

c) Kann man für f oder g Funktionswerte f(0)∈ℝ bzw. g(0), g(1)∈ℝ definieren, sodass die Funktion auch auf dem erweiterten [0, 1] stetig ist?

Comments

Was ist denn exa(x)?

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Vielleicht e^{x}g(x)

Die Bilderkennung funktioniert vermutlich nicht immer so wie sie sollte.

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Vielleicht e^{x}g(x) 

Nein.

Answer 1

Hallo

du solltest dir solche aufgaben plotten lassen, dann siehst du alles und musst es nur noch begründen!

 b) ich nehme an, dass du dich vertippt hast und es exp(x) statt exa(x) heisst, dann hat f(x) den Fixpunkt, denn es wird von der Geraden f(x)=x geschnitten, denn der Graph  geht durch (0,-1) und dann für negative x schnell gegen 0. berechne etwa f(-1)

a) Zusammensetzung von stetigen Funktionen, im Def Bereich keine Nullstelle des Nenners.

c) GW für x->1 mit L'Hopital ebenso für x->0 für g, f ist bei 1 nicht stetig ergänzbar.

Gruß lul

Comments

hat f(x) den Fixpunkt, denn es wird von der Geraden f(x)=x geschnitten

Diese Aussage ist falsch.

f ist bei 1 nicht stetig ergänzbar.

Das ist (seltsamerweise) gar nicht gefragt.

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Hallo Gast

deinen ersten Kommentar verstehe ich nicht. f(x) hat einen Fixpunkt also f(x)=x (verbessert)

eben seh ich meinen Fehler, der Fixpunkt liegt nicht im Def. Bereich, dann hat keine der Funktionen in (0,1) einen Fixpunkt  nur g im erweiterten Bereich also bei x=1

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also bei x=1

und auch bei x=0

Answer 2

Statt exa(x) nehme ich exp(x) an. Dann hat aber weder f noch g einen Fixpunkt, wenn das offene Intervall von 0 bis 1 die Definitionsmenge ist.

https://www.desmos.com/calculator/ltczactzpt