Antwort mit KI erzeugt
a) \( ax = b \)
Um \( ax = b \) in \( \mathbb{Z}_p \) zu lösen, müssen wir \( x \) finden. Da \( a \neq \tilde{0} \) ist, existiert in \( \mathbb{Z}_p \) auch das multiplikative Inverse von \( a \), welches wir \( a^{-1} \) nennen. Die Lösung kann durch Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit \( a^{-1} \) gefunden werden:
\( a x = b \)
\( a^{-1} a x = a^{-1} b \)
\( x = a^{-1} b \)
b) \( \tilde{p} x = \tilde{1} \)
Hier müssen wir \( x \) finden, so dass \( \tilde{p} x = \tilde{1} \) in \( \mathbb{Z}_p \) gilt. Da \( \tilde{p} = 0 \) in \( \mathbb{Z}_p \), ergibt sich:
\( 0 \cdot x = 1 \)
Dies ist keine mögliche Gleichung, da \( 0 \) niemals \( 1 \) in irgendeinem fallenden Restklassenring \(\mathbb{Z}_p\) sein kann. Daher gibt es
keine Lösung.
c) \( x^2 = a^2 \)
Wir suchen die Lösung für \( x^2 = a^2 \) in \( \mathbb{Z}_p \). Diese Gleichung kann umgeformt werden zu:
\( x^2 - a^2 = 0 \)
\( (x-a)(x+a) = 0 \)
Da \( p \) eine Primzahl ist und somit das Feld \( \mathbb{Z}_p \) keine Nullteiler hat, muss entweder \( x = a \) oder \( x = -a \) (wobei \( -a \equiv p-a \)) gelten. Daher gibt es zwei mögliche Lösungen:
\( x = a \)
\( x = -a \)
d) \( x(x-\tilde{1})^{-1} = \tilde{3} \)
Hier suchen wir \( x \), so dass \( x(x-1)^{-1} = 3 \) in \( \mathbb{Z}_p \) gilt. Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit \( x-1 \), erhalten wir:
\( x = 3(x-1) \)
\( x = 3x - 3 \)
\( 3x - x = 3 \)
\( 2x = 3 \)
Da wir nun \( x \) aus \( 2x = 3 \) in \( \mathbb{Z}_p \) bestimmen müssen, brauchen wir das multiplikative Inverse von 2 in \( \mathbb{Z}_p \), welches wir \( 2^{-1} \) nennen. Die Lösung ist daher:
\( x = 2^{-1} \cdot 3 \)
Das multiplikative Inverse von 2 in \( \mathbb{Z}_p \) können wir durch den erweiterten euklidischen Algorithmus bestimmen.
Zusammenfassend:
- Für \( 2x = 3 \) finde das Inverse von \( 2 \) in \( \mathbb{Z}_p \).
- Multipliziere das Inverse mit \( 3 \) um \( x \) zu erhalten.
