Schwierige Aufgabe mit Wurzel L'Hospital

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Grenzwert mit L'Hospital: \( \quad g=\lim \limits_{x \rightarrow \infty}(\sqrt{\left(x^{2}+a x\right)}-x) \)

 

Das ist mein bisheriger Ansatz:

\( \begin{aligned} g=\lim \limits_{x \rightarrow \infty}(\sqrt{\left(x^{2}+a x\right)}-x) & \\=& \frac{\left(x^{2}+a x\right)^{\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{x}}=\frac{\frac{1}{2}\left(x^{2}+a x\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 x+a}{\frac{1}{x^{2}}} \end{aligned} \)

Comments

Erweitere mit √(x^2+ax) +x und kürze mit x.

Answer 1

\( (\sqrt{\left(x^{2}+a x\right)}-x) \)

Erweitere mit \( (\sqrt{\left(x^{2}+a x\right)}+x) \), das gibt mit 3. binomi. Fo.

\( (x^{2}+a x-x^2) \) / \( (\sqrt{\left(x^{2}+a x\right)}+x) \)

= \( a*x \) / \( (\sqrt{\left(x^{2}+a x\right)}+x) \)

jetzt mit x kürzen gibt

= \( a / (\sqrt{1+a/x} +1)\)

geht also gegen a/2.

Comments

Und was ist daran Hospital?

Answer 2

Hallo,

Multipliziere den Zähler und Nenner  mit

√(x^2+ax) +x

Answer 3

Bei Differenzen mit Wurzeln ist sicher das Erweitern und Anwenden der dritten binomischen Formel eine "Standardtechnik". Diese Überlegungen zum Ermitteln des Grenzwertes sind wesentlich elementarer als die Anwendung der Regeln von L'Hospital, man muss noch nicht einmal ableiten können. Wenn man die Aufgabe wörtlich nimmt, soll aber unbedingt diese Regel angewandt werden. Dazu gibt es vermutlich mehrere Umformungsmöglichkeiten, ein Vorschlag wäre $$  \sqrt{x^{2}+ax}-x=x*(\sqrt{1+\frac{a}{x}}-1)=\frac{\sqrt{1+\frac{a}{x}}-1}{\frac{1}{x}} $$ für x > 0 und x > -a. Die Grenzwerte von Zähler und Nenner sind 0, also kann die Regel angewandt werden. Nach Ableiten von Zähler und Nenner sowie Kürzen erhält man $$ \frac{a}{2\sqrt{1+\frac{a}{x}}} $$ Die Regel besagt, dass diese Funktion für x→∞ den gleichen Grenzwert hat wie die Originalfunktion. Und da der Grenzwert der Wurzel natürlich 1 ist, erhält man insgesamt den Grenzwert, den man auch auf anderem Weg letztlich einfacher hätte bekommen können.