Vektoren Abstand und Paraboloid

Question

Aufgabe:

Gegeben sei der Punkt \( P(1 ; 2 ; 7) . \) Geben Sie seinen Abstand an zu
1. der \( x \) -y-Ebene,
2. der y-Achse,
3. zur Ebene \( E: 3 x-y=z \)

 Geben Sie eine Parameterdarstellung von \( E \) an. Geben Sie die Parameterdarstellungen zweier verschiedener Geraden an, die durch \( P \) verlaufen und parallel zu \( E \) sind.

Geben Sie 3 verschiedene Punkte an, die in der Schnittmenge von
\( E \) und dem Paraboloid \( P: z=x^{2}+y^{2} \) liegen.

Problem/Ansatz:

Hi, kann mir bitte jemanden dabei helfen diese Aufgaben zu berechnen?

Danke für mögliche Antworten !

Answer 1

Gegeben sei der Punkt P(1 | 2 | 7). Geben Sie seinen Abstand an zu

1. der x-y-Ebene
7

2. der y-Achse
√(1^2 + 7^2) = 5·√2

3. zur Ebene E: 3·x - y = z
d = |3·x - y - z|/√(3^2 + 1^2 + 1^2)
d = |3·1 - 2 - 7|/√(3^2 + 1^2 + 1^2) = 6/11·√11

Geben Sie eine Parameterdarstellung von E an.
E: 3·x - y - z = 0
E: X = [0, 0, 0] + r·[1, 3, 0] + s·[1, 0, 3]

Geben Sie die Parameterdarstellungen zweier verschiedener Geraden an, die durch P verlaufen und parallel zu E sind.
g1: X = [1, 2, 7] + r·[1, 3, 0]
g2: X = [1, 2, 7] + r·[1, 0, 3]

Geben Sie 3 verschiedene Punkte an, die in der Schnittmenge von E und dem Paraboloid P: z = x^2 + y^2 liegen.
3·x - y = x^2 + y^2
x^2 - 3·x + y^2 + y = 0
(x - 1.5)^2 + (y + 0.5)^2 = 2.5

Ein paar Lösungen sind: [0, -1, 1], [0, 0, 0], [1, -2, 5], [1, 1, 2], [2, -2, 8]

~plot~ sqrt(2.5-(x-1.5)^2)-0.5;-sqrt(2.5-(x-1.5)^2)-0.5;[[-2.5|5.5|-3|3]] ~plot~