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Das Newton-Verfahren eignet sich zur Bestimmung von Nullstellen einer Funktion. Daher schreiben wir$$x\cdot e^x=15$$in Form einer Funktion$$f(x)=x\cdot e^x-15$$und suchen ihre Nullstelle(n).
Beim Newton-Verfahren startet man mit einer Schätzung \(x_0\) für die Nullstelle. Für diesen Punkt \(x_0\) berechnet man die Tangente an die Funktion \(f(x)\), das heißt$$t_{x_0}(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$und prüft, wo diese Tangente die \(x\)-Achse schneidet, indem man sie gleich \(0\) setzt und nach \(x\) auflöst:
$$\left.f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)\stackrel{!}{=}0\quad\right|\;-f(x_0)$$$$\left.f'(x_0)\cdot(x-x_0)=-f(x_0)\quad\right|\;:f'(x_0)$$$$\left.x-x_0=-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\quad\right|\;+x_0$$$$\left.x=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\quad\right.$$Dieses \(x\) nimmt man als neuen Näherungswert für die Nullstelle. Diese Berechnung wiederholt man so lange, bis die Nullstelle hinreichend genau bestimmt wurde. Zusammengefasst heißt das:$$\boxed{x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\quad;\quad x_0=\text{Startwert}}$$In dem konkreten Fall ist$$f'(x)=e^x+x\cdot e^x$$und die Iterationsschritte im Newton-Verfahren lauten:$$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n\cdot e^{x_n}-15}{e^{x_n}+x_n\cdot e^{x_n}}=x_n-\frac{x_n-15\cdot e^{-x_n}}{1+x_n}=\frac{x_n^2+15\cdot e^{-x_n}}{1+x_n}$$Ausgehend vom Startwert \(x_0=2\) konvergiert die Folge sehr schnell:$$x_0=2$$$$x_1=2,01000975$$$$x_2=2,009943562$$$$x_3=2,009943559$$
