Injektivität bei Linearen Abbildungen als Matrizen

Question

da ich bezweifle, dass ich hier eine Antwort bekomme, beziehe ich mich hier darauf:

Der Fragesteller hat dort gefragt, ob die lin. Abbildung, gegeben durch folgende Matrix, injektiv, surjektiv, bijektiv ist:

\( B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \)

In der Antwort steht, dass sie weder injektiv, noch surjektiv ist.

In meinem Skript steht jedoch, dass eine lin. Abbildung \( L_B: K^n \to K^m, x \mapsto B \cdot x \) genau dann injektiv ist, wenn die Spalten von B linear unabhängig sind. Offensichtlich sind sie in unserem Fall doch lin. unabhängig, weshalb \( L_B \) injektiv sein sollte.

Answer 1

Die Aussage im Skript stimmt. Die Spaltenvektoren in B sind linear unabhängig, also ist die dadurch definierte Abbildung injektiv. Das kann man sich auch ohne lineare Algebra klar machen: Es kann nicht (x,0,4y) = (x',0,4y') sein, wenn nicht x' = x und y' = y sind. Leider hat es also damals einen kleinen Fehler bei der Antwort gegeben. Dass die Abbildung nicht surjektiv ist, stimmt aber: Kein Bildvektor hat in der zweiten Zeile eine von 0 verschiedene Zahl.

Comments

Dass die Abbildung nicht surjektiv ist, stimmt aber: Kein Bildvektor hat in der zweiten Zeile eine von 0 verschiedene Zahl.

Das Argument: Die Spalten von B erzeugen nicht den \( K^m \), also hier \( K^3 \), daher ist \(L_A \) nicht surjektiv, wäre auch richtig, oder?

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Ja, stimmt. Die Spalten von B erzeugen einen zweidimensionalen Untervektorraum des K³, und daher ist L_A nicht surjektiv.  

Answer 2

Überprüfe es doch einfach mit der Definition der Injektivität. Seien \(\begin{pmatrix}x_1\\x_2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}y_1\\y_2 \end{pmatrix} \in \mathbb{K}^2\) mit \(L_B\Big(\begin{pmatrix}x_1\\x_2 \end{pmatrix}\Big)=L_B\Big(\begin{pmatrix}y_1\\y_2 \end{pmatrix}\Big)\) gegeben. Zeige, dass dann \(\begin{pmatrix}x_1\\x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_1\\y_2 \end{pmatrix}\) gilt.

Alternativ (weil es äquivalent zur Injektivität ist, sofern du es schon kennst), kannst du einfach zeigen, dass \(Ker(L_B)=\Bigg\{\begin{pmatrix}0\\0 \end{pmatrix}\Bigg\}\) gilt.