Es geht wohl um die Menge
$$ M = \left\{ \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix} \mid \alpha, \beta \in \mathbb R \right\}. $$
Intuitiv: Das sind alle 2x2-Matrizen, deren Gegendiagonale nur Nulleinträge enthält.
Hier nur exemplarisch für die Matrizenaddition, du sollst es in diesem Fall aber für die Matrizenmultiplikation zeigen - das ist ein bisschen komplizierter, weil die Multiplikation von Matrizen nicht komponentenweise erfolgt. Aber das Prinzip ist dasselbe und wenn du das verstanden hast, kriegst du es mit der Multiplikation auch hin.
Wir zeigen: \((M, +)\) ist eine abelsche Gruppe.
Abgeschlossenheit: Seien \(\begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 \\ 0 & \beta_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \alpha_2 & 0 \\ 0 & \beta_2 \end{pmatrix} \in M\) mit \(\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2 \in \mathbb R\). Dann gilt auch
$$ \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 \\ 0 & \beta_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha_2 & 0 \\ 0 & \beta_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_1 + \alpha_2 & 0 \\ 0 & \beta_1 + \beta_2 \end{pmatrix} \in M, $$
denn auch hier besteht die Gegendiagonale nur aus Nulleinträgen. Assoziativität und Kommutativität zeigt man dann ganz einfach durch Nachrechnen (im Grunde folgen beide Sachen sofort aus Assoziativität und Kommutativität in \((\mathbb R, +)\)). Dann noch Existenz des neutralen und inversen Elements:
Sei \(\begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix} \in M\) mit \(\alpha, \beta \in \mathbb R\).
Hier ist offensichtlich die Nullmatrix das neutrale Element, denn es gilt
$$\begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix}$$
und das inverse Element ist die Matrix, die die entsprechenden inversen Elemente (diese existieren in \(\mathbb R\)!) auf der Diagonale enthält:
$$ \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -\alpha & 0 \\ 0 & -\beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\alpha & 0 \\ 0 & -\beta \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Das sind alles keine Raketenwissenschaften. Aber wichtig ist es zu verstehen, wie man auf das neutrale und inverse Element kommt und das formal zeigt. Alles klar?
