AWP mit Störfunktion

Question

ich habe Schwierigkeiten mit Aufgaben, die Anfangswertprobleme und Störfunktionen (?) enthalten.

Bspw. bei der folgenden Aufgabe:

Gegeben ist das Anfangswertproblem mit linearer Dgl.
$$ \ddot{y}-3 \dot{y}+2 y=4 e^{\wedge}(2 t) \quad \quad y(t=0)=-1, \quad \dot{y}(t=0)=1 $$
a) Bestimmen Sie die Eigenwerte und die allgemeine Lösung der homogenen Dgl.
b) Zeigen Sie (durch Einsetzen], dass \( y(t)=4 t e^{\wedge}(2 t) \) eine spezielle Losung der gegebenen Differentialgleichung ist.
c) Wie lautet die Lösung zu den gegebenen Anfangswerten?

Problem/Ansatz:

Mein einziger Ansatz ist, den linken Teil erst Null zu setzen, allerdings wars dann auch schon wieder.

Ich weiß leider nicht, wie ich dort vorgehen soll.

Vielen Dank im Voraus!

Gruß, Lucas

Answer 1

Hallo,

b) Leite y  2 Mal ab und setze das in die DGL ein.

Wenn die linke Seite= der rechten Seite ist , ist der Beweis erbracht.

c) Leite die Lösung 1 Mal ab und  setze die Anfangswerte ein.

Lösung:

1) y= C₁ e^(2t)  +C₂ e^t +4 e^(2t) *t

2) y '= 2 C₁ e^(2t)  +C₂ e^t +4 e^(2t) (2t+1)

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y(0)= -1 : -1= C₁ +C₂

y'(0) = 1:  1= 2 C₁ +C₂ +4

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C₁= -2

C₂=1

y= -2 e^(2t) +e^t +4 t e^(2t)

Comments

vielen Dank schon mal für die schnelle Antwort!

Wie bist du auf y_p = A*t*e^2t gekommen?

Gruß

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weil hier Resonanz vorliegt, die 2 in der Störfunktion e^(2t) ist auch einfache Lösung der charakteristischen Gleichung .

siehe 2.Seite, Punkt2 ,2.Zeile, Fall 2 dann der Ansatz dort.

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

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Okay, das habe ich jetzt auch verstanden :)

Lediglich das Kürzen kann ich nicht ganz nachvollziehen..bei mir geht das nicht auf.

müsste yp'' nicht auch = 4A(2t+1)e^2t sein?

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Edit: yp'' meine ich

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Dein y'' ist falsch , Wenn Du mit meinem y'' rechnest , kürzt sich das weg.