Was sagt mir das Ergebnis, wenn ich bei einer Funktion den Limes bzw. die Grenzwerte ausgerechnet habe?

Question

Wir rechnen gerade Grenzwerte aus. Die Rechnung verstehe ich eigentlich.

Wir hatten diese Funktion als Beispiel: \( f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1} \)

Danach rechneten wir Folgendes: Lim (X->+-unendlich). Nachdem wir X² bzw. X ausgeklammert haben kam heraus dass der limes X ist. Wie gesagt, den Rechenweg habe ich verstanden, aber was genau sagt mir das jetzt?

Danach stellten wir fest, dass die Funktion eine Luecke hat, da wenn man für X 1 einsetzt 0/0 herauskommt.

Danach haben wir den rechtsseitigen Grenzwert errechnet, indem wir für X=1+1/n einsetzten. Auch hier ist der Rechenweg nicht das Problem. Zum Schluss kam raus: Lim (n->unendlich) 2 = 2.

Hierzu habe ich folgende Fragen: Warum ist der limes von 2 = 2? Und wenn ich jetzt weiss, dass 2 zum Schluss herauskommt, was sagt mir das? Also was kann ich mit diesem Ergebnis anfangen? Weil die Luecke liegt ja bei x=1.

Ich denke, ich hab einfach die Begrifflichkeiten von Limes und Grenzwerten noch nicht verstanden.

Answer 1

  1.)

  lim x -> ∞ [ ( x^2 - 1) / (  x - 1 ) ]

  Die Antwort in Worten : aufgrund das x gegen unendlich geht spielt die -1
keine Rolle mehr. Es bleibt  x^2 / x = x. Der Funktionswert ist also, da x gegen
unendlich geht, auch unendlich. f ( x ) = x  l stetig ansteigende Gerade

  lim x -> ∞ [ ( x^2 - 1) / (  x - 1 ) ] = ∞

  In diesem Fall gibt es auch noch eine 2.Variante

 f ( x ) = ( x^2 - 1) / (  x - 1 ) 
 f ( x ) = [ ( x - 1) * ( x + 1 ) ] / (  x - 1 ) ]   l  Vorausetzung x - 1 ungleich null, kürzen
 f ( x ) =  x + 1  l eine Geradengleichung

  lim x -> ∞ [ x +1 ] = ∞

  2.)

    Es handelt sich um den Spezialfall einer " hebbaren Lücke ".

    x = 1 [ ( x^2 - 1) / (  x - 1 ) ]  wird zu 0/0 also einer Lücke.

    ( Ich rechne jetzt einmal ausführlich )

    x = 1 + 1/n  l bei n gegen unendlich wird x = 1 entspricht lim x -> 1

   f ( 1 + 1/n ) = [ ( 1 + 1/n )^2 - 1 ] / ( 1 + 1/n - 1 )
   f ( x + 1/n ) = [ 1 + 2/n + 1/n^2 - 1 ] / ( 1/n )
   f ( 1 + 1/n ) = ( 2/n + 1/n^2 ) / ( 1 / n )
   f  ( 1 + 1/n ) =  (2*n/n^2 + 1/n^2 ) * n
   f ( 1 + 1/n ) =  ( 2n + 1)/n^2 * n
   f ( 1 + 1/n) = ( 2n + 1 ) / n 
   f ( 1 + 1/n ) = 2 + 1/n
   lim n -> ∞ = 2

  Der Funktionswert für lim x -> 1   = 2.

  Dein Zitat  " Zum Schluss kam raus: Lim (n->unendlich) 2 = 2.  "  ist also nicht
richtig. Hier liegt der Verständnisfehler.

  Im  Fall 1.) ist  der Funktionswert für lim x -> ∞   = ∞.
  Im Fall 2.) ist  der Funktionswert für lim x -> 1   = 2.

  Soweit mein Wissen. Bei Fragen wieder melden.

  mfg Georg