Wie berechnet in einem Quader den Winkel zwischen einer Raumdiagonalen und den Kanten?

Question

Gegeben ist ein Quader mit den Kantenlängen

a = 17cm

b = 8,4cm

c = 11,8cm

Wie berechnet man jetzt den Winkel zwischen einer Raumdiagonalen und den Kanten?

Answer 1

Hallo,

berechne zunächst die Länge \(d\) der Raumdiagonalen $$d= \sqrt{17^2 + 8,4^2 + 11,8^2} \,\text{cm} \approx 22,33 \text{cm}$$und dann wende den Arkuscosinus an.$$\angle ad = \arccos \frac{17}{22,33} \approx 40,43° \\ \angle bd = \arccos \frac {8,4}{22,33} \approx 67,91° \\ \angle cd = \arccos \frac{11,8}{22,22} \approx 58,11°$$mache Dir klar, dass die Raumdiagonale mit jeder der Kanten ein rechtwinkliges Dreieck aufspannen. Siehe hier.

Gruß Werner

Answer 2

Lege ein Koordinatensystem fest.

Bestimme die Ortsvektoren der Ecken des Quaders. Optimalerweise hast du dazu das Koordinatensystem so festgelegt, dass

        \(\vec{b} = \begin{pmatrix}17\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{d} = \begin{pmatrix}0\\8,4\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{e} = \begin{pmatrix}0\\0\\11,8\end{pmatrix}\) und \(g = \begin{pmatrix}17\\8,4\\11,8\end{pmatrix}\)

Orstvektoren der Ecken des Quaders sind.

Berechne mittels

        \(\cos\left(\angle \left(\vec{v_1}, \vec{v_2}\right)\right) = \frac{\vec{v_1}\cdot\vec{v_2}}{\left|\vec{v_1}\right|\cdot\left|\vec{v_2}\right|}\)

die Winkel zwischen \(\vec{g}\) und den anderen Vektoren.