quadratische Ergänzung,y- Achsenabschnitt ; Integralrechnung

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche zwischen den Graphen von f,g, und h ….

f(x)= -1/4 x²+x+3 etc.

Problem/Ansatz:

Ich dachte mir, um hier festzustellen,wo Integrationsgrenzen zu setzen sind, wäre es sinnvoll, die Graphen zunächst zu zeichen. Da es sich um eine quadratische Funktion handelt, bietet sich die Scheitelpunktform durchaus an. Doch irgendwie stolpere ich auf Probleme beim quadratischen Ergänzen! Mein konstanter Faktor bzw. der y-Achsenabschnitt ist irgendwie immer falsch! Vielleicht erkennt ja jemand meinen Fehler! vielen Dank im Voraus :-)

-1/4x²+x+3 [ *(-4)

x²-4x-12

(x²-4x+(4/2)²- (4/2)²)-12

(x-2)²-4-12

(x-2)²-16

Dieser Achsenabschnitt erscheint mir jedoch höchstmerkwürdig...

( mal noch am Rande: lassen sich Aufgaben, in denen ich den Inhalt dreier Graphen bestimmen muss, auch ohne Skizze gut berechnen? Lässt sich das irgendwie anders noch sehen? Natürlich kann ich die Funktionen gleichsetzen, aber das sorgt ja auch für Verwirrung...

Answer 1

Dieser Achsenabschnitt erscheint mir jedoch höchstmerkwürdig...

-16 ist nicht der y-Achsenabschnitt.

3 ist der y-Achsenabschnitt

Du hast den Faktor -1/4 vergessen.

f(x) = -1/4·((x-2)²-16) = -1/4(x-2)² + 4

Natürlich kann ich die Funktionen gleichsetzen

Das musst du zur Bestimmung der Integrationsgrenzen tun; unabhängig davon ob du die Funktionen zeichnest oder nicht.

Comments

achso, d.h. ich teile den konstanten Faktor... aber wieso dann nicht auch die Klammer quasi? Ich habe ja zu Beginn den ganzen Term durch 4 geteilt?

Und wieso ist dann letztlich 3 der y-Achsenabschnitt und nicht 4?

Dankeschön!

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Ich habe ja zu Beginn den ganzen Term durch 4 geteilt?

Nein. Du hast zu Beginn den ganzen Term mit -4 multipliziert.

Also musst du am Ende den ganzen Term durch -4 teilen oder - was gleichwertig ist - mit -1/4 multiplizieren. Deshalb wird aus dem Term

        (x-2)²-16

der Term

        -1/4·((x-2)²-16).

Ausmutiplizieren ergibt

        -1/4(x-2)² + 4

aber wieso dann nicht auch die Klammer quasi

Welche Klammer meinst du?

Und wieso ist dann letztlich 3 der y-Achsenabschnitt und nicht 4?

Der y-Achsenabschnitt ist da wo der Graph die y-Achse schneidet.

Wo der Graph die y-Achse schneidet, dort ist die x-Koordinate 0.

Setze in der Gleichung

        f(x)= -1/4 x²+x+3

für x den Wert 0 ein, dann bekommst du den y-Achsenabschnitt.

Setze in der Gleichung

        f(x)= -1/4 ((x - 2)² - 16)

für x den Wert 0 ein, dann bekommst du den y-Achsenabschnitt.

Aus der Normalform

        f(x) = ax² + bx + c

kann man den y-Achsenabschnitt ablesen. Aus der Scheitelpunktform

        f(x) = a(x - d)² + e

nicht.

Answer 2

Hallo,

nur wenn die Nullstellen,berechnet werden kann man  mit  (-4) multiplizieren und dann "vergessen".

für die Scheitelpunktform

f(x) = -1/4 x²+x+3                                     | *(-4)

f(x) *(-4) = x² -4x -12       

              =  [ x²  -4x  + 4] - 4   -12             | quadratisch ergänzen

 f(x) * (-4) = (x-2)² -16                              |  nun geteilt durch (-4)

   f(x)        = - 1/4 (x-2)² +4                      Scheitelpunkt    S( 2 | 4)