LA: Wie zeige ich, dass die 2 Aussagen gelten?

Question

Sei K ein Körper und V ein n-dimensionaler K-Vektorraum. Gegeben seien n linear abhängige Vektoren v1, . . . , vn in V , von denen je n − 1 linear unabhängig sind. Weiter seien α1,...,αn ∈ K, so dass

∑ⁿ_i=1  α_iv_i =0

 

und α_j ≠ 0 für (wenigstens) ein j ∈ {1, . . . , n}. Zeigen Sie:

(i) Es gilt α_i ≠ 0 ∀ i=1,...,n. 

(ii) Ist ∑ⁿ_i=1 β_iv_i  = 0 mit β_i ∈K,dann existiert ein λ∈K, so dass β_i = λα_i ∀i=1,...,n.

 

Wie löse ich diese Aufgabe?

Answer 1

Zu i)

Annahme: es existiere ein i ∈ {1,2,…,n}, mit α_i = 0. Dabei ist o.B.d.A. i ≠ j da α_j ≠ 0 .

Dann gilt:

$$\sum \limits_{k=1,k\neq i}^{n}α_{k}v_{k} = 0$$

Diese Summe ist nach Voraussetzung nur Null, wenn alle α_k = 0 sind (je n-1 Vektoren sind l.u.). Damit folgt aber insbesondere, das auch α_j = 0 sein muß, was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist. Daraus folgt die Behauptung.

Zu ii)

Da jede Teilmenge von (n-1) Vektoren linear unabhängig ist, ist die Dimension des Raumes aller möglichen Koeffizienten

{α₁ , … , α_n}, die die Gleichung $$ (*) \sum \limits_{k=1}^{n}α_{k}v_{k} = 0$$

erfüllen gleich 1. Damit können alle Lösungen {β₁ , … , β_n} der Gleichung (*) als Vielfaches von
{α₁, … , α_n} geschrieben werden, somit muß ein λ∈K existieren, mit β_i = α_i und somit die Behauptung.