Matrix frage zum vorgehen

Question

Für Ostern 2007 hat sich die Schokoladenfabrik Stollwerk entschieden 3 Sorten Osterhasen O1,O2 und O3 zu produzieren. Diese 3 Sorten setzen sich aus 3 unterschiedlichen Schokoladenrohmassen S1,S2,S3 zusammen. Diese wiederum werden aus 3 Zutaten, nämlich Zucker Z, Fett F und Kakaopulver K gefertigt.

Jetzt sind 2 Matrizen gegeben

                 je Einheit

	O1	O2	O3
S1	1	2	3
S2	4	5	6
S3	7	8	9

je Einheit S
 

	Z	F	K
S1	3	2	1
S2	4	9	8
S3	5	6	7

 

1. Welche Mengen an Zutaten werden für die Produktion von 300MEO1,200 MEO2 und 100MEO3 benötigt ? (ME= Mengeneinheit)
2. Wie viel kosten diese Zutaten insgesamt, wenn für 100 Euro genau 120 ME Z geliefert werden und F und K ebenfalls zu diesem Preis erhältlich sind?

Meine Frage: Muss ich beide Matrizen multiplizieren und dass Ergebnis mit dem Spaltenvektor (300,200,100) multiplizieren ?

Muss man vielleicht bei der 2 ein LGS aufstellen ?

 

Answer 1

Ah das ist eine sehr gemeine Aufgabe. Da wird getestet ob du aufpassen kannst.

1)

[3, 4, 5; 2, 9, 6; 1, 8, 7]·[1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]·[300; 200; 100] = [37200; 54800; 55600]

2)

(37200 + 54800 + 55600)/120 * 100 = 123000

Comments

Aloha Coach ;)

Die Matrix muss nicht transponiert, sondern invertiert werden. Aber dann kommt Unsinn raus. Deswegen ist in der Aufgabenstellung wohl ein Fehler, indem die Beschriftung der Spalten und Zeilen schlicht vertauscht wurde.

Übrigens:

Alle Achtung, wie viele Fragen du hier beantwortest !!!

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Die Matrix muss nicht transponiert, sondern invertiert werden.

Denk nochmal darüber nach. Ich bin mir eigentlich zu 99% sicher das Transponieren richtig ist.

Warum meinst du invertieren?

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Die Matrix erwartet rechts einen Rohstoffvektor und liefert als Ergebnis einen Schokovektor.$$\vec s=M\cdot\vec r$$Wir brauchen aber eine Matrix, die rechts einen Schokovektor erhält und als Ergebnis einen Rohstoffvektor liefert:$$\vec r=M^{-1}\vec s$$Vielleicht habe ich aber auch ein Brett vorm Kopf...?!

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Vielleicht habe ich aber auch ein Brett vorm Kopf...?!

Dann nimm das mal weg. Schau mal an die Tabellen. Warum steht das je Einheit einmal links und einmal oben?

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was ist jetzt richtig ?

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Beide Lösungen sind nicht ganz 100%-ig. Die Lösung vom Coach stützt sich darauf, dass der Zusatz "je Einheit" impliziiert, dass die Matrix transponiert werden muss. Meine Lösung geht davon aus, dass die Beschriftung der Achsen falsch ist.

Nimm die Lösung vom Coach, da sind die impliziten Annahmen geringer ;)

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Okay alles klar.

Was habe ich falsch gemacht ?

Text erkannt:

No do w moth \( \ln 2 \frac{0}{x} \) ? \( \begin{array}{ll}\text { n } 6 & \text { ". } \\ \text { Wh } & \text { t) } \\ \text { I } & \text { the }\end{array} \)

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Du hast bereits die Matrix nicht transponiert. Das meinte ich oben übrigens damit das ich die Aufgabe sehr gemein finde. Das ist erst die zweite Aufgabe die ich je gesehen habe wo vom Schüler erwartet wird, dass er sie vorher transponiert.

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Woran erkennst du das man die Matrix transponieren muss. Muss ich beide Matrizen transponieren?

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Die Aufgabe ist ja von einer Fachhochschule BWL

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Bezeichne die Matrizen mal mit

M_SO sowie M_SZ

Zwei Matrizen darf man miteinander multiplizieren wenn die Spalten der ersten Matrix vom gleichen Typ sind wie die Zeilen der zweiten Matrix.

Wenn du kein Typ hast dann muss die Spaltenanzahl der ersten Matrix mit der Zeilenanzahl der zweiten übereinstimmen.

Bei obigen Matrizen passt es nicht, weil das O der ersten Matrix nicht zum S der zweiten passt. Wir müssen daher die erste Matrix transponieren.

Dann wird aus der M_SO Matrix eine M_OS Matrix

Dann würde das S der ersten Matrix auch zum S der zweiten passen.

Wenn du dann mal meine Rechnung ansiehst siehst du das ich die erste Matrix auch anders aufgeschrieben habe. Dort habe ich eben Zeilen und Spalten vertauscht.

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"Bei obigen Matrizen passt es nicht, weil das O der ersten Matrix nicht zum S der zweiten passt. Wir müssen daher die erste Matrix transponieren."

Ich habe nicht verstanden woran du das erkennst. Das sind ja beides 3x3 Matrizen. Weil da je Einheit steht deswegen muss man das auf der selben Seite haben ?

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Du darfst eine a x b Matrix nur mit einer c x d Matrix multiplizieren wenn gilt: b = c

Du darfst eine Matrix M_ab nur mit einer Matrix M_cd multiplizieren wenn gilt: b = c

Darfst du also M_SO mit M_SZ multiplizieren?

Darfst du also M_OS mit M_SZ multiplizieren?

Dabei bringt es nichts nur nach den reinen Zahlenwerten einer Matrix gehen sondern man sollte auch die Bedeutung dieser Zahlen respektieren.

Ganz besonders eben bei deinem Fall, weil beides 3 x 3 Matrizen sind die man beliebig Transponieren und Multiplizieren kann.

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Okay kann ich also auch anstatt der 1sten Matrix auch die 2te transponieren ? Also O mit S kann man multiplizieren

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Also O mit S kann man multiplizieren.

Du kannst Osterhasen mit Schokoladenrohmassen multiplizieren?

Stell dir meinetwegen auch mal die Einheiten der Matrizenelenemne vor.

Welche Einheit haben die Elemente der Matrix M_SO?

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Ich meinte  MSO mit MSZ multiplizieren darf man ? 

Die Einheit ist doch Mengeneinheit

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Ich meinte  MSO mit MSZ multiplizieren darf man ?

Mathematik hat sehr viel mit Sorgfalt zu tun.

MSO darfst du nicht mit MSZ multiplizieren. Das stand aber schon oben.

Die Einheit ist doch Mengeneinheit

Das ist verkehrt und geht auch noch viel genauer. Nämlich wenn du angibst welche Mengeneinheit gemeint ist.

Ist das die Mege an Osterhasen oder die Menge an Schokoladenrohmassen und wenn dann für welchen Osterhasen und für welche Schokoladenrohmasse.

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Kann ich also MSZ mit MOS multiplizieren würde dass dann gehen

Vielleicht ME SO

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MSZ mit MOS

Nein

Eine

SxZ Matrix kannst du nicht mit einer OxS Matrix multiplizieren. Das geht höchstens anders herum. Wichtig. Bei Matrizen gilt das Kommutativgesetz NICHT!

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[3, 4, 5; 2, 9, 6; 1, 8, 7]·[1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]

du hast dort doch die 2te Matrix genommen also SxZ * OxS( Weil du die transponiert hast kommt anstatt SxO dann OxS). Wo ist da mein Denkfehler

Kannst du das bitte vorrechnen

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Du hast

MSO, MSZ und O gegeben und möchtest die die Zutaten Z berechnen.

Das gibt die logische Folge

Z = M_ZS * M_SO * O

Und stimmt weil hier M_SZ statt M_ZS gegeben war muss ich die taransponieren.

Answer 2

Aloha :)

Du hast die Matrix \({_S}M_O\) von den Osterhasen zu den Schokomischungen und du hast die Matrix \({_S}M_Z\) von den Zutaten zu den Schokomischungen. Für Teil (a) benötigst du die Matrix \({_Z}M_O\) von den Osterhasen zu den Zutaten:$${_Z}M_O={_Z}M_S\cdot{_S}M_O$$Das Problem ist, dass die gegebene Matrix \({_S}M_Z\) sozusagen die falsche Richtung hat, Eingang sind die Zutaten, Ausgang sind die Schokomischungen. Um die Matrix \({_Z}M_S\) zu erhalten, musst du diese Matrix daher invertieren:$${_Z}M_O=\left({_S}M_Z\right)^{-1}\cdot{_S}M_O={\underbrace{\left(\begin{array}{c}3 & 2 & 1\\4 & 9 & 8\\5 & 6 & 7\end{array}\right)}_{={_S}M_Z}}^{-1}\underbrace{\left(\begin{array}{c}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 & 9\end{array}\right)}_{={_S}M_O}$$$$\phantom{{_Z}M_O}={\underbrace{\frac{1}{48}\left(\begin{array}{r}15 & -8 & 7\\12 & 16 & -20\\-21 & -8 & 19\end{array}\right)}_{={_Z}M_S}}\;\underbrace{\left(\begin{array}{c}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 & 9\end{array}\right)}_{={_S}M_O}=\frac{1}{24}\left(\begin{array}{r}16 & 23 & 30\\-32 & -28 & -24\\40 & 35 & 30\end{array}\right)$$Die Minuszeichen sehen sehr pathologisch aus, sie führen dazu, dass Zutat 2 in negativen Mengen gebraucht würde. Daher muss ein Fehler in der Aufgabenstellung vorliegen. Ich vermute, dass die Spalten und Zeilen bei der zweiten Matrix vertauscht wurden. Dann wäre nämlich nicht die Matrix \({_S}M_Z\) gegeben, sondern die tatsächlich benötigte Matrix \({_Z}M_S\).

Nehmen wir diese Korrektur an, sieht die Rechnung wie folgt aus:$${_Z}M_O={_Z}M_S\cdot{_S}M_O={\underbrace{\left(\begin{array}{c}3 & 2 & 1\\4 & 9 & 8\\5 & 6 & 7\end{array}\right)}_{={_Z}M_S}}\;\underbrace{\left(\begin{array}{c}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 & 9\end{array}\right)}_{={_S}M_O}=\left(\begin{array}{r}18 & 24 & 30\\96 & 117 & 138\\78 & 96 & 114\end{array}\right)$$In diese Matrix kannst du nun deinen Spaltenvektor eingeben, um den Zutatenvektor zu erhalten:$$\left(\begin{array}{r}18 & 24 & 30\\96 & 117 & 138\\78 & 96 & 114\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}300\\200\\100\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}13\,200\\66\,000\\54\,000\end{array}\right)$$Da alle Zutaten denselben Preis haben, können wir die Gesamtmenge \(133\,200\) Einheiten durch \(120\) dividieren erhalten \(1\,110\) und wissen daher, dass die Rohstoffe insgesamt \(111\,000€\) kosten.