Was versteht man unter dieser Aufgabe ? (Es muss Hilfsmittelfrei gelöst werden; Analysis)

Question

Aufgabe:

In der folgenden Tabelle sind einige Daten einer R definierten ganzrationalen Funktion f mit F(x) = ax³ + bx ² +cx+d

x	-4	-1	0	5	10
f(x)	112	4	12	112	-238
f'(x)	-81	0	15	0	-165

b) Für die obige Tabelle wurde d = 12 zugrunde gelegt. Für diesen Wert hat f genau eine Nullstelle. Geben Sie alle Werte für d an,  sodass f genau zwei Nullstellen hat. Begründen  Sie Ihre Angabe.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht inwiefern sich das lösen lässt, vor allem ohne Hilfsmittel wie Taschenrechner etc. Ich kenne doch die anderen Werte gar nicht.

Answer 1

Hallo solevita,

hat man die Aufgabenstellung erst mal verstanden, so ist ist doch recht einfach. Es handelt sich um ein kubisches Polynom. Da von der Ableitung \(f'(x)\) die Nullstellen gegeben sind, kennen wir auch die beiden lokalen Extrema der Funktion$$x_{E1} = -1, \quad f(-1) = 4 \\ x_{E2} = 5, \quad f(5) = 112$$das rechte Extremum liegt höher als das linke, und die Steigung ist rechts vom rechten Extremum negativ. Daraus folgt, dass \(a \lt 0\) sein muss.

Beide Extrema befinden sich im Bereich positiver Y-Werte. Und ein kubisches Polynom hat genau dann genau zwei Lösungen, wenn eines der Extrema die X-Achse berührt. Dort existiert dann eine doppelte Nullstelle. Also muss man das \(d\) so weit vermindern, dass genau dies der Fall ist:$$d_1 = d  - 4 = 8 \\ d_2 = d - 112 = -100$$womit die Frage bereits beantwortet ist.

Und auch \(f(x)\) lässt sich ohne Taschenrechner ermitteln. Aus dem Nullstellen von \(f'(x)\) und mit \(f'(x=0)=15\) folgt$$\begin{aligned} f'(x)&= 3a(x+1)(x-5) \\&= 3a(x^2 - 4x - 5) \\ f'(x=0) & =15 \\ &= -15a \\ \implies a &= -1 \\ \implies f(x) &= \int -3x^2  + 12x +15 \, \text d x\\ &=-x^3 + 6x^2 + 15x + d, \quad d=12 \end{aligned} $$Der Plot vom Graphen zeigt, dass das Ergebnis sinnvoll ist

~plot~ -1*(x^3-6x^2-15x)+12;[[-6|12|-10|160]];{-1|4};{5|112};{-4|112} ~plot~

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Vielen Dank! Ihr habt mir alle sehr gut weiter geholfen und alle Fragen beantwortet.

Answer 2

Wenn man die gegebenen Punkte in der Ansatz F(x) = ax³ + bx² +cx+d einsetzt, erhält man 5 Gleichungen mit 4 Unbekannten. Wenn man dann noch die Ableitungswerte und deren 5 Stellen in die erste Ableitung einsetzt, erhält man weitere 5 Gleichunge diesmal mit nur 3 Unbekannten. Hoffentlich sind einige dieser 10 Gleichungen mit 4 Unbekannten linear abhängig, sonst sehe ich ohne Hilfsmittel schwarz.

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Habe ich das richtig verstanden, dass ich  jetzt die x Werte aus der ersten Zeile (-4,-1,0,5,10 ) als Wert für d angeben soll und deshalb dann immer jeweils zwei Nullstellen für die allgemeine Funktion f habe?

Weshalb ist dies denn möglich, also was ist die Begründung dafür?

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Nein, das hast du ganz falsch verstanden. Die Wertetabelle nennt 5 Punkte (x|f(x)), die den Ansatz f(x) = ax³ + bx² +cx+d erfüllen sollen und 5 Punkte (x|f '(x)), die den Ansatz f '(x)=3ax²+2bx+c erfüllen sollen. Das führt zu 10 Gleichungen mit nur 4 Unbekannten. Das ist nur durch Regression lösbar, wenn nicht ganz viele der 10 Gleichungen linear abhängig sind.

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Habe ich das richtig verstanden

Du hast R. nicht richtig verstanden, aber er erst recht nicht die Aufgabenstellung.

Answer 3

Die Funktionsgleichung soll vermutlich nicht bestimmt werden. (Ich habe es trotzdem mit einem Online-Rechner gemacht, um die Aufgabe zu verstehen ;-)   )

Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat genau 2 Nullstellen, wenn eine Nullstelle doppelt ist, d.h. ein lokales Minimum oder Maximum muss auf der x-Achse liegen. Die erste Ableitung ist für x=-1 und x=5 Null.

Betrachten wir den Fall x=-1. Der y-Wert ist 4. Damit der Punkt auf der x-Achse liegt, muss die Kurve um 4 Einheiten nach unten geschoben werden. Das bedeutet, dass der y-Achsenabschnitt d um 4 kleiner werden muss. Also 12-4=8.

Nun x=5. f(5)=112, Damit der Punkt (5|y) auf der x-Achse liegt, muss 112 von y subtrahiert werden. Also wird 112 von d=12 abgezogen und der neue Wert beträgt -100.

Hier noch die Kurven für d=8 (rot) und d=-100 (blau).

https://www.desmos.com/calculator/8sdaiptiir

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Gleichungssystem nicht ohne Rechner gelöst werden kann

Selbstverständlich könnte man das, wenn es gewünscht würde, nämlich mit dem Ansatz  f'(x) = a*(x+1)*(x-5)

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@hj2166

Du hast natürlich recht. Ich ändere meine Antwort.

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Vielen Dank! Das hat mir sehr weiter geholfen.

Answer 4

Die beiden Extrempunkte liegen an den Stellen x=-1 und x=5 (dort sind die ersten Ableitungen 0).

Wir haben dort (laut Wertetabelle für f(x)) T(-1|4) und H(5|112).

Wenn die Funktion genau zwei Nullstellen haben soll, muss die x-Achse einmal geschnitten und einmal nur berührt werden. Das ist genau dann der Fall, wenn der Hoch- oder der Tiefpunkt auf der x-Achse liegen.

Für d=12 hat die Funktion die beschriebene Wertetabelle.

Wenn wir ihren Graphen um 4 Einheiten nach unten verschieben (wie groß ist dann d?), berührt der Tiefpunkt T die x-Achse.

Wenn wir ihren Graphen um 112 Einheiten nach unten verschieben (wie groß ist dann d?), berührt der Hochpunkt H die x-Achse.

PS: Sorry, Monty. Ich hätte den Thread bis zu Ende lesen sollen. Du hast das so schon erklärt.

PPS: Werner hat es auch nicht gelesen.

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Vielen Dank! Ihr habt mir alle sehr gut weiter geholfen und alle Fragen beantwortet.

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@abakus

Alles in Ordnung. Hauptsache, solevita hat etwas dazugelernt.  :-)