Wie Klammert man diese Funktion fa(x) richtig aus?

Question

Die Funktion fa(x) ist eine Schar und lautet:

EDIT 2022: Kommentarstrang zur Antwort: x steht unter dem Bruchstrich und ist eigentlich a usw.

Erste Version:

  (1/10x)*x^3 - (3/a)*x^2 + 30

ich will jetzt die Nullstellen berechnen und wollte mithilfe von ausklammern meine Rechnung vereinfachen damit ich mit dem Satz vom Nullprodukt weiter rechnen kann...

Jetzt ist die Frage ob, ich die 30 innerhalb der Klammer weglassen soll oder nicht, da sie ja de facto kein x mit sich "trägt"

-->    x* ( (1/10a)*x^2 - (3/a)*x + 30?) = 0

Ich bin der Meinung, dass ich die 30 weglassen muss, da ich dann auch das Richtige Ergebnis rausbekommen würde und zwar die x1,2=0 und x3=30

Kann mir mal kurz wer hier helfen?

Comments

Von verbesserter (?) Version:

Titel: Wie berechne ich hier die Nullstellen bei dieser Aufgabe?

Stichworte: nullstellen,gleichungen

Die Funktionen \( f_{a} \) sind gegeben durch \( f_{a}(x)=\frac{1}{10 a} x^{3}-\frac{3}{a} x^{2}+30, a \neq 0, x \in I R \)
In der Abbildung 1 werden die obere und untere Schnittkante des Blechteils A durch Abschnitte der Graphen der Funktionen \( f_{-20} \) und \( f_{20} \) beschrieben; in der Abbildung 2 kann die untere Schnittkante von Teil C ebenfalls durch den Graphen einer Funktion \( f_{a} \) beschrieben werden.
a) Zeigen Sie, dass sich die Graphen aller Funktionen \( f_{a} \) nur in den Punkten \( S_{1}(0 | 30) \) und \( S_{2}(30 | 30) \) schneiden.
Ermitteln Sie den Flücheninhalt des Blechteils A.

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Wozu willst du die Nullstellen wissen ?
Flächenberechnung ?
Stell  einmal die Abbildungen ein.

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@Lauch:

Achte bitte darauf, dass du Aufgaben korrekt formulierst.

Durch deine falsche Wiedergabe dauert es unnötig lange bis zur Lösung.

Tipp:

Foto einstellen, erkannten Text überprüfen, eventuell kürzen, Vorschau kontrollieren, dann das Foto wieder löschen.

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@Lauch: Duplikate wie gemeldet verschmolzen. Bitte kontrollieren, ob die Frage in der Fragestellung nun die vollständige Frage enthält. und nötigenfalls vervollständigen. Danke

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Könntest du mir vielleicht sagen, aus welchem Buch diese Aufgabe stammt? Danke im Voraus.

Answer 1

Die Funktionen \( f_{a} \) sind gegeben durch \( f_{a}(x)=\frac{1}{10 a} x^{3}-\frac{3}{a} x^{2}+30, a \neq 0, x \in\mathbb R \)
a) Zeigen Sie, dass sich die Graphen aller Funktionen \( f_{a} \) nur in den Punkten \( S_{1}(0 | 30) \) und \( S_{2}(30 | 30) \) schneiden.

Schnittpunkte zweier Funktionen der Schar bestimmen:

Sei \(a\ne b; a\ne 0; b\ne 0\)

$$f_a(x)=\frac{1}{10a}\cdot x^3 - \frac{3}{a}\cdot x^2 + 30$$

$$f_b(x)=\frac{1}{10b}\cdot x^3 - \frac{3}{b}\cdot x^2 + 30$$
------------------------------------------------------

$$f_a(x)=f_b(x)$$

$$\frac{1}{10a}\cdot x^3 - \frac{3}{a}\cdot x^2 + 30=\frac{1}{10b}\cdot x^3 - \frac{3}{b}\cdot x^2 + 30$$
$$\frac{1}{10a}\cdot x^3 - \frac{3}{a}\cdot x^2 -\frac{1}{10b}\cdot x^3 + \frac{3}{b}\cdot x^2 =0$$
$$(\frac{1}{10a}-\frac{1}{10b})\cdot x^3 +( \frac{3}{b} - \frac{3}{a})\cdot x^2 =0$$

$$x^2\cdot((\frac{1}{10a}-\frac{1}{10b})\cdot x -( \frac{3}{a} - \frac{3}{b})) =0$$

$$x^2=0 \text{ oder }(\frac{1}{10a}-\frac{1}{10b})\cdot x -( \frac{3}{a} - \frac{3}{b}) =0$$

$$ x_1=0 $$
$$(\frac{1}{10a}-\frac{1}{10b})\cdot x -( \frac{3}{a} - \frac{3}{b}) =0~~~~~|\cdot10$$
$$(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})\cdot x -( \frac{30}{a} - \frac{30}{b}) =0~~~~$$
$$(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})\cdot x -30\cdot( \frac{1}{a} - \frac{1}{b}) =0~~~~$$

$$(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})\cdot( x -30) =0~~~~$$

$$ x_2=30$$

Jetzt \(x_1=0\) und \(x_2=30\) in \(f_a(x)\) einsetzen; fertig!

Comments

denkt dir das x im nenner bei der 10 zu einem a um.

habe mich da vertippt. sorry

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Es wäre sinnvoll, wenn du das auch in der Aufgabe änderst.

Fehlt vielleicht ein x hinter der 30?

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hallo

 auch wenn ich die Gleichung mit 1/(10a) statt x habe ist noch was falsch, du kannst ja mal x=0 und x=30 einsetzen, das ergibt beides nicht 0 wenn bei den 30 noch x steht ist x=0 eine Lösung aber x=30 immer noch nicht? also schreibe exakte Gleichung noch mal auf

lul

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die 30 hinten hat eben kein x, aber wenn ich sie dann so stehen lasse würde als Nullstelle was komplexes rauskommen mit a, das wäre aber per se falsch laur Lösungen

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Text erkannt:

Die Funktionen \( f_{a} \) sind gegeben durch \( f_{a}(x)=\frac{1}{10 a} x^{3}-\frac{3}{a} x^{2}+30, a \neq 0, x \in I R \)
In der Abbildung 1 werden die obere und untere Schnittkante des Blechteils A durch Abschnitte der Graphen der Funktionen \( f_{-20} \) und \( f_{20} \) beschrieben; in der Abbildung 2 kann die untere Schnittkante von Teil C ebenfalls durch den Graphen einer Funktion \( f_{a} \) beschrieben werden.
a) Zeigen Sie, dass sich die Graphen aller Funktionen \( f_{a} \) nur in den Punkten \( S_{1}(0 | 30) \) und \( S_{2}(30 | 30) \) schneiden.
Ermitteln Sie den Flücheninhalt des Blechteils A.

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Hallo Lauch,

endlich ist klar, was du ausrechnen sollst. Gesucht sind ja nicht die Nullstellen, da die Schnittpunkte die y-Koordinate 30 und nicht 0 haben.

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okay dann fa(0) für die y-Achse, aber was ist mit S2(30/30)? das schneidet ja weder X noch Y Achse

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Warum sollte der Punkt auf einer Koordinatenachse liegen?

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Hallo

 nein fa(0)=30 und fa(30)=30 unabhängig von a

lul

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llloooollll

also einfach fa(0) auf 30 prüfen und fa(30) auf 30 prüfen

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Ja!           :-)                                      

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Okay letzt Frage. Wenn ich jetzt den Flächeninhalt berechnen soll, dann muss ich ja bei der Integration einer der Funktionen mit der anderen subtrahieren.

Also halt Integral mit Grenze von 0 bis 30 * ( f20(x)-f-20(x))* dx

Oder muss das in der Klammer genau anderes herum.

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Wie du in Abbildung 1 siehst, ist f (-20) die obere Funktion. Von ihr ziehst du f (20) ab.

Answer 2

Hallo

 wenn ich das richtig lese:$$\frac{1}{10x}*x^3+\frac{3}{a}*x^2+30=0$$

kannst du nicht ausklammern sondern hast die quadratische Gleichung $$\frac{1}{10}*x^2+\frac{3}{a}*x^2+30=0$$

beim ausklammern steht bei dir etwas anderes, aber so kannst du auf keinen Fall ausklammern

du musst  $$x^2+\frac{30}{a}*x+300=0$$ lösen oder uns die richtige Gleichung schicken

wenn am Anfang x*x^3=x^4 steht ersetzest du z=x^2,z^2=x^4 und löst die quadratische Gleichung für z.

bei keiner Auslegung deiner Gleichung kommt 0 und 30 raus. die Lösung müsste ja von a abhängen?

Gruß lul

Comments

Ich habe mich bei dem ganzen Zahlen vertippt, du hast recht, die x hat bei der 1/10 nichts zu suchen! Da muss ein a hin!

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Text erkannt:

Die Funktionen \( f_{a} \) sind gegeben durch \( f_{a}(x)=\frac{1}{10 a} x^{3}-\frac{3}{a} x^{2}+30, a \neq 0, x \in I R \)
In der Abbildung 1 werden die obere und untere Schnittkante des Blechteils A durch Abschnitte der Graphen der Funktionen \( f_{-20} \) und \( f_{20} \) beschrieben; in der Abbildung 2 kann die untere Schnittkante von Teil C ebenfalls durch den Graphen einer Funktion \( f_{a} \) beschrieben werden.
a) Zeigen Sie, dass sich die Graphen aller Funktionen \( f_{a} \) nur in den Punkten \( S_{1}(0 | 30) \) und \( S_{2}(30 | 30) \) schneiden.
Ermitteln Sie den Flücheninhalt des Blechteils A.

Answer 3

Man berechnet die Nullstellen, indem man die Funktion gleich Null setzt und nach x auflöst.

Comments

ja das verstehe ich auch. aber ich habe es mit dem Satz vom Nullprodukt versucht und es klappt hier nicht

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Warum vom Nullprodukt? Es ist eine Summe, kein Produkt.

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wie macht man dann diese Aufgabe?

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wie macht man dann diese Aufgabe? verstehe ich nicht

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Wie Georg schon schrieb, wäre es hilfreich, du würdest die Zeichnungen auch einstellen.

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welche Zeichnung meinst du? Ich rede hier von dieser Aufgabe

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In der Aufgabe steht Abbildung 1 und
Abbildung 2.

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Es in der Aufgabe von Abbildung 1 und Abbildung 2 die Rede.

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Text erkannt:

Aufgabenstellung:
Zur Restauration von Oldtimerfahrzeugen sind häufig Nachfertigungen von verrosteten Karosserieteilen notwendig. Aus zwei rechteckigen Reparaturblechen von \( 40 \mathrm{cm} \) Breite und \( 55 \mathrm{cm} \) Hóhe sollen drei unterschiedliche Teile mit Hilfe eines Lasers, der über Funktionsvorschriften gesteuert werden kann, herausgeschnitten werden. Die Abbildungen 1 und 2 zeigen jeweils einen Teil des Schneidetisches, das mit dem Schneidetisch verbundene Koordinatensystem und die zu erstellenden Blechteile A, B und C. \( \left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \quad \) A \( \quad Y\left[\begin{array}{l}-\infty \\ c \\ b \\ n-1\end{array}\right]_{[i m]}^{100+n+n+n} \)
Abbildung Breite in cm 20
Breite in \( \mathrm{cm} \)

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Die Nullstellen sind gar nicht gesucht, sondern es ist zu zeigen, dass sich alle Kurven in zwei gemeinsamen Punkten schneiden. Das habe ich beim Original-Post bereits gezeigt.