Die Funktionen fa sind gegeben durch fa(x)=10a1x3−a3x2+30,a=0,x∈R
a) Zeigen Sie, dass sich die Graphen aller Funktionen fa nur in den Punkten S1(0∣30) und S2(30∣30) schneiden.
Schnittpunkte zweier Funktionen der Schar bestimmen:
Sei a=b;a=0;b=0
fa(x)=10a1⋅x3−a3⋅x2+30
fb(x)=10b1⋅x3−b3⋅x2+30
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fa(x)=fb(x)
10a1⋅x3−a3⋅x2+30=10b1⋅x3−b3⋅x2+30
10a1⋅x3−a3⋅x2−10b1⋅x3+b3⋅x2=0
(10a1−10b1)⋅x3+(b3−a3)⋅x2=0
x2⋅((10a1−10b1)⋅x−(a3−b3))=0
x2=0 oder (10a1−10b1)⋅x−(a3−b3)=0
x1=0
(10a1−10b1)⋅x−(a3−b3)=0 ∣⋅10
(a1−b1)⋅x−(a30−b30)=0
(a1−b1)⋅x−30⋅(a1−b1)=0
(a1−b1)⋅(x−30)=0
x2=30
Jetzt x1=0 und x2=30 in fa(x) einsetzen; fertig!