Berechnung von Gradient...

Question

Hallo, ich möchte den Gradienten berechnen:

f($\vec{r}$) = a r⁴ = a (x²+y²+z²)

Die Lösung ist 4a (x²+y²+z²) (x,y,z) = 4ar² $\vec{r}$

Wie kommt man denn auf diese Lösung?

Comments

Es ist a*r⁴ =a*(x²+y²+z²)²

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mit dem x² ja aber ohne die Klammer hoch 2

Answer 1

Aloha :)

Wenn eine Funktion nur vom Betrag $r$ des Vektors $\vec r$ abhängt, dann ist der Gradient:$$\text{grad}\,f(r)=f'(r)\cdot\vec r^0$$Das sieht man mit Hilfe der kettenregel:$$\text{grad}\,f(r)=\frac{\partial f}{\partial \vec r}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{\partial r}{\partial\vec r}=f'(r)\cdot\text{grad}\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$$$\phantom{\text{grad}\,f(r)}=f'(r)\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\left(\begin{array}{c}2x\\2y\\2z\end{array}\right)=f'(r)\,\frac{\vec r}{r}=f'(r)\,\vec r^0$$Daher ist in deinem Fall:$$\text{grad}\,\left(ar^4\right)=4ar^3\cdot\vec r^0=4ar^2\,\vec r$$

Comments

Danke :)

Aber wie kommst du darauf?:

f´(r) * $\vec {r}$ 

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Hmmm, die Herleitung habe ich doch hingeschrieben... einfach die Funktion nach $r$ ableiten und dann mit dem Einheitsvektor $\vec r^0$ multiplizieren.

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okay danke.

Aber wie kommst du von ∂ f/∂ r = ∂f /∂r * ∂r/∂r Wie kommst du darauf? (Vekotrpfeile nicht berücksichtigt=

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Ich verstehe deine Herleitung leider nicht :(

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Achso...

$\frac{\partial}{\partial\vec r}$ ist eine "symbolische" Schreibweise für den Gradienten. Die verwendet man, weil man damit u.a. die Kettenregel elegeant darstellen kann:$$\text{grad}\,f(r)=\frac{\partial f(r)}{\partial \vec r}$$Jetzt verwendet man die Kettenregel. Man leitet $f$ nach $r$ ab und dann $r$ nach $\vec r$. Das sieht symbolisch so aus:$$\frac{\partial f(r)}{\partial \vec r}=\frac{\partial f(r)}{\partial r}\cdot\frac{\partial r}{\partial\vec r}=f'(r)\cdot\frac{\partial r}{\partial\vec r}$$Dahinter verbirgt sich die Regel:$$\text{grad}\,f(r)=f'(r)\cdot\text{grad}\,\vec r$$Du brauchst also nur den Gradienten von $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ zu bilden:

$$\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\cdot2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{x}{r}$$$$\frac{\partial r}{\partial y}=\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\cdot2y=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{y}{r}$$$$\frac{\partial r}{\partial z}=\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\cdot2z=\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{z}{r}$$$$\Rightarrow\text{grad}\,\vec r=\frac{1}{r}\,\vec r=\vec r^0$$Und damit hast du diese extrem nützliche Regel fertig:$$\text{grad}\,f(r)=f'(r)\cdot\vec r^0$$

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Vielen Dank, noch eine Frage, woher kommt die * 2x und 2y und 2z??

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Das ist die innere Ableitung der Wurzel:

$$\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2+y^2+z^2\right)^{1/2}=\underbrace{\frac{1}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)^{-1/2}}_{=äußere}\cdot\underbrace{2x}_{=innere}$$$$=\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\cdot2x=\frac{x}{r}$$

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Supi, bis jetzt alles Verstanden. Ich danke dir so sehr.

Eine Sache ist mir gerad noch nicht klar, in meinem Buch steht f(r) mit Vekotrpfeil du schreibst es mal ohne und mal mit.

und zweite Frage wäre wie kommst auf die Schlussfolgerung 1/r *r (vekotr) = einheitsvektor. Ich verstehe nicht:

ich dachte es wäre: grad r = (x/r; y/r; z/r)?

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oder wo kann man dies nachschlagen?

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Mir $r$ meine ich den Betrag des Vektors, also $r=|\vec r|$. Es ist ein erheblicher Unterschied, ob eine Funktion $f$ nur vom Betrag $r$ abhängt oder ob sie vom Vektor $\vec r$ abhängt. Im Allgemeinen hat man $f(\vec r)$ gegeben und kann davon den Gradienten bilden, indem man partiell nach allen Komponenten von $\vec r$ ableitet. In vielen Fällen hat man es aber mit Zentralfeldern zu tun, wo nur der Abstand $r$ entscheidend ist. Und um diesen wichtigen Sonderfall schnell zu berechnen, gibt es die sehr wichtige Formel von oben.

Du hast Recht, $\text{grad}\,r=(x/r|y/r|z/r)$. Aber das heißt doch:$$\text{grad}\,r=\left(\begin{array}{c}x/r\\y/r\\z/r\end{array}\right)=\frac{1}{r}\cdot\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\frac{1}{r}\cdot\vec r=\vec r^0$$Wenn man einen Vektor durch seinen Betrag dividiert, erhält man je den Einheitsvektor.

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Warum ist es erheblich ob es vom Betrag r oder vekotr r abhängt. Kann ich mir nicht so richtig vorstellen

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Der Gradient steht senkrecht auf den Flächen gleichen Potentials. Wenn eine Funktion $f(r)$ nur von $r$ abhängt, sind alle Werte im Abstand $r$ gleich. Das heißt alle Werte auf einer Kugelschale mit Radius $r$ haben denselben Wert. Der Gradient zeigt für die gesamte Kugelschale in Richtung ihres Zentrums bzw. entgegengesetzt dazu. In der Physik heißt das, dass z.B. eine Kraft für alle Punkte auf der Kugelschale nicht nur gleich groß ist, sondern auch in Richtung des Zentrums (oder entgegengesetzt) gerichtet ist.

Wenn das Feld jedoch von $\vec r$ abhängt, hat $f(\vec r)$ für jeden Punkt der Kugelschale einen anderen Wert und einen anderen Gradient.