Kern einer Matrix berechnen.

Question

berechnen sie den Kern von :

l 1 0 1 2  l

l 0 1 1 1  l

l 0 0 0 0  l

Meine Lösung ist:

a + c + 2d =o

b + c + d = o

für den Fall,dass : a = 0 und b = 1

dann in der zweiten Gleichung ist c = -d

und die erste Gleichung : o + o + -d + 2d = 0

also d = 0  daraus folgt  y1 . (0 1  -1  0)

für den Fall ,dass: a=1 und b=1

die zweite Gleichung : 1+c+d= 0 also c = -d

die erste:  1 -d + 2d =0

1+d=0

d 0 -1  also y2 .(1 0 -1  -1)

die Richtige Lösung ist : y1=(1 1 -1 0)

                                       y2 (-1 0 -1 0)

kann jemand bitte meine Lösung korrigieren?

und wie kann man das Bild einer Matrix berechnen?

Answer 1

Aloha :)

Schreibe die Matrix hin und daneben eine Einheitsmatrix mit so vielen Spalten wie die Matrix hat. Dann bringst du die Matrix durch elementare Spaltenumformungen auf Dreiecksform und -- das ist wichtig -- wiederholst dieselben Umformungsschritte an der Einheitsmatrix:$$\left(\begin{array}{c}{} & {} & {-S_1} & {-2S_1}\\\hline 1 & 0 & 1 & 2\\0 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)\quad\left(\begin{array}{c}{} & {} & {-S_1} & {-2S_1}\\\hline 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}{} & {} & {-S_2} & {-S_2}\\\hline 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)\quad\left(\begin{array}{c}{} & {} & {-S_2} & {-S_2}\\\hline 1 & 0 & -1 & -2\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}{\vec b_1} & {\vec b_2} & & \\\hline 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)\quad\left(\begin{array}{c}{} & {} & {\vec k_1} & {\vec k_2}\\\hline 1 & 0 & -1 & -2\\0 & 1 & -1 & -1\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$Die Basisvektoren \(\vec b_1,\vec b_2\) des Bildes sind die von Null verschiedenen Spalten der ursprünglichen Matrix. Die Basisvektoren \(\vec k_1,\vec k_2\) des Kerns sind die zu den Nullspalten korrespondierenden Spalten der ursprünglichen Einheitsmatrix.

Beachte, dass die Basisvektoren nicht eindeutig sind. Um auf "deine" Musterlösung zu kommen, wähle:$$-\vec k_1=(1|1|-1|0)\quad;\quad \vec k_2-\vec k_1=(-1|0|-1|1)$$Deine Musterlösung hat einen Fehler in der letzten Komponente des zweiten Kern-Basisvektors.

Answer 2

Hallo

 im Falle a=0, b=1

 folgt aus der 1. Gl c+2d=0 aus der zweiten c+d=-1

die 2 Gl subtrahiert ergibt d=1

in beiden Gleichungen kommt c und d vor, warum änderst du dann gerade a und b, das macht es viel komplizierter.

 ändere lieber c=0, d=1 und dann d=0 c=1

die Lösungen müssen aber ja nicht übereinstimmen, der Kern ist in diesem Fall ein 2d UVR, der kann sehr verschiedene Basen haben, z.b. mit v1 und v2 als Basis, ist auch v1, v1+v2 ne Basis, usw.

 am einfachsten findet man das Bild, indem man die Basisvektoren des R4 abbildet, und davon 2 lin unabhängige aussucht. bzw. alle linear unabhängigen, aber da der Kern 2d ist und der räum 4d, muss das Bild auch 2d sein.

Gruß lul

Comments

Danke für deine Antwort ;

wenn a =0 und b= 1 und d=1 dann muss c=-2 sein ,

denn c + 2d = 0

     -2 + 2 *1 =0

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isd das Bild gleich :

1  0

0  1

0   1

?

weil die 2 anderen Vektoren das Vielfache von anderen Vektoren sind.

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Hallo

 ich komme nicht auf deinen 2 ten Vektor wessen Bild soll das sein?  die dritte Komponente ist doch immer 0?

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ich meinte 0

                  1

                  0

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Hallo

 dann ist das als Basis des Bildes richtig

lul