Analysis Grenzwertberechnung

Question

Hallo. Wie löse ich diese Aufgaben? Meinen Ansatz füge  ich mit bei.

Text erkannt:

Aufgabe 3
Wir betrachten die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{2}{1+3 x^{2}} . \) Berechnen Sie die beiden Grenzwerte
a.) \( \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} \)
b.) \( \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \) für festes, aber beliebiges \( x \in \mathbb{R} \)
c.) und bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \( f \) in den Punkten \( (0, f(0)) \) und \( (4, f(4)) \)

Answer 1

Aloha :)$$f(x)=\frac{2}{1+3x^2}$$Teil a) hast du richtig bearbeitet. Bei Teil b) musst du das ganze nochmal allgemein für \(x\) wiederholen. Der Übersicht wegen bestimmen wir zunächst nur den Zähler des Differenzenquotienten:$$f(x+h)-f(x)=\frac{2}{1+3(x+h)^2}-\frac{2}{1+3x^2}$$$$\quad=\frac{2(1+3x^2)}{[1+3(x+h)^2]\cdot(1+3x^2)}-\frac{2[1+3(x+h)^2]}{[1+3(x+h)^2]\cdot(1+3x^2)}$$$$\quad=\frac{2(1+3x^2)-2[1+3(x+h)^2]}{[1+3(x+h)^2]\cdot(1+3x^2)}=\frac{(2+6x^2)-[2+6(x^2+2xh+h^2)]}{[1+3(x+h)^2]\cdot(1+3x^2)}$$$$\quad=\frac{6x^2-(6x^2+12xh+6h^2)]}{[1+3(x+h)^2]\cdot(1+3x^2)}=\frac{-12xh-6h^2}{[1+3(x+h)^2]\cdot(1+3x^2)}$$$$\quad=\frac{h\cdot(-12x-6h)}{[1+3(x+h)^2]\cdot(1+3x^2)}$$Jetzt haben wir den Zähler des Differenzenquotienten schön vorbereitet und können die Ableitung mittels des Differentialquotienten hinschreiben:$$f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\left(\frac{1}{h}\left(f(x+h)-f(x)\right)\right)$$$$\phantom{f'(x)}=\lim\limits_{h\to0}\left(\frac{1}{h}\left(\frac{h\cdot(-12x-6h)}{[1+3(x+h)^2]\cdot(1+3x^2)}\right)\right)$$$$\phantom{f'(x)}=\lim\limits_{h\to0}\frac{-12x-6h}{[1+3(x+h)^2]\cdot(1+3x^2)}$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{-12x}{(1+3x^2)\cdot(1+3x^2)}=\frac{-12x}{(1+3x^2)^2}$$

Im letzten Teil sollst du "nur" noch die Gleichung von 2 Tangenten bestimmen. Die Tangente im Punkt \(x=0\) lautet:$$t_0(x)=f(0)+f'(0)\cdot(x-0)=2+0\cdot(x-0)=2$$Die Tangente im Punkt \(x=4\) lautet:$$t_4(x)=f(4)+f'(4)\cdot(x-4)=\frac{2}{49}-\frac{48}{49^2}\cdot(x-4)=\frac{98}{49^2}-\frac{48}{49^2}x+\frac{192}{49^2}$$$$t_4(x)=\frac{290}{49^2}-\frac{48}{49^2}x$$

Answer 2

Hallo

 a ist richtig eine Zeile mehr aufschreiben wäre Schöner, statt h im Nenner einfach durchzustreichen

b) genauso auf den Hauptnenner bringen - ist nur lang aufzuschreiben und dann durch h kürzen und dann h gegen 0.

Gruß lul

Comments

Es wäre sehr lieb wenn Sie das demonstrieren könnten