Lineare Algebra I : ∑^{∞}_(k=1) 1 / (k (k + 1)(k + 2))= 1/4 zeigen

Question

Wie zeige ich :

∑∞k=1   1 / (k (k + 1)(k + 2)) = 1/4 ?

Ich hab 1 Hinweis: Finden Sie zuerst eine Partialbruchzerlegung der Form a/k + b/(k+1) + c/(k+2)

Comments

Hallo. Solche Aufgabe habe ich vor kurzen in meiner Uni bekommen. Kann mir jemand vielleicht helfen? Vielen Dank

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Siehe auch hier: https://www.mathelounge.de/71555/lineare-algenra-i-%E2%88%91%E2%88%9Ek-1-1-k-k-1-k-2-1-4-zeigen.

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wie zeige ich das :      1/(k+1)(k+2) = 1/4

das ist eine reihe mit unendlich und k=1

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$$\text{Es ist }\sum_{k=1}^\infty\frac1{(k+1)(k+2)}=\frac12.\text{ Meinst du vielleicht }\sum_{k=1}^\infty\frac1{k(k+1)(k+2)}\,?$$

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ups ja genau das zweite. mit 1/4. Tut mir leid

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1/k(k+1)(k+2) = 1/4. meine ich die obere gleichung stimmt nicht... Tut mir leid

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Schau hier: https://www.mathelounge.de/71555/lineare-algebra-i-%E2%88%91-%E2%88%9E-_-k-1-1-k-k-1-k-2-1-4-zeigen.

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wie meint er das mit dem grenzwert unten ? Das mit dem Grenzwert unten und der kurze beweis ist nicht vollständig oder?

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Die Rechnung zeigt, dass für die \(N\)-ten Partialsummen gilt$$\sum_{k=1}^N\frac 1{k(k+1)(k+2)}=\frac14-\frac12\left(\frac1{N+1}-\frac1{N+2}\right).$$Bilde den Grenzwert für \(N\to\infty\) um die Aussage zu zeigen.

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soll man einmal den grenzwert für 1/n+1 und einmal für 1/n+2 berechnen und voneinander abziehen?

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Ja. Viel zu rechnen gibt es allerdings nicht mehr, weil beide Grenzwerte gleich Null sind. Übrig bleibt nur noch \(\frac14\).

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Vom Duplikat:

Titel: Konvergenz der Reihe 1/(k(k+1)(k+2)) beweisen

Stichworte: konvergenz,reihen,grenzwert,analysis

Wie beweise ich das die Reihe konvergiert? Hab es mit dem Quotientenkriterium versucht bin damit aber nicht weit gekommen.

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Hier ist die gleiche Frage: https://www.mathelounge.de/71555/lineare-algebra-i-k-1-1-k-k-1-k-2-1-4-zeigen.

Answer 1

Partialbruchzerlegung liefert$$\frac 1{k(k+1)(k+2)}=\frac12\left(\frac1k-\frac2{k+1}+\frac1{k+2}\right).$$Für die Partialsummen gilt daher$$\sum_{k=1}^N\frac 1{k(k+1)(k+2)}=\frac12\sum_{k=1}^N\left(\frac1k-\frac2{k+1}+\frac1{k+2}\right)$$$$=\frac12\sum_{k=1}^N\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)-\frac12\sum_{k=1}^N\left(\frac1{k+1}-\frac1{k+2}\right)$$$$=\frac12\left(1-\frac1{N+1}\right)-\frac12\left(\frac12-\frac1{N+2}\right)$$$$=\frac14-\frac12\left(\frac1{N+1}-\frac1{N+2}\right).$$Die Behaupting folgt nun durch Grenzübergang \(N\to\infty\).

Comments

Wood danke

ach ich muss am ende nicht auf 1/4 kommen?

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Doch. Bilde den Grenzwert für \(N\to\infty\) und erhalte \(\frac14\).

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Geht das indem ich einfach eine große Zahl dafür einsetze?

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Bilde den Grenzwert summandenweise (Grenzwertsätze).$$\lim_{N\to\infty}\frac1{N+1}=\lim_{N\to\infty}\frac1{N+2}=0.$$Es bleibt \(\frac14-\frac12\cdot(0-0)=\frac14.\)

Answer 2

Partialbruchzerlegung gibt

1 / ( k*(k+1)*(k+2)) = 0,5/k  - 1/(k+1)  + 0,5/ (k+2)

Dann ist die Summe über 1 / ( k*(k+1)*(k+2))

für k = 1 bis n aufzuteilen in drei Summen:

$$\sum \limits_{k=1}^{n}\frac{0.5}{k}-\sum \limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k+1}+\sum \limits_{k=1}^{n}\frac{0.5}{k+2}$$

Index anpassen:

$$=\sum \limits_{k=1}^{n}\frac{0.5}{k}-\sum \limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k}+\sum \limits_{k=1}^{n}\frac{0.5}{k+2}$$

$$=0,5+\sum \limits_{k=2}^{n}\frac{0.5}{k}-\sum \limits_{k=2}^{n}\frac{1}{k}+\frac{1}{n+1}+\sum \limits_{k=1}^{n}\frac{0.5}{k+2}$$ 1. und 2. Summe zusammenfassen:

$$=0,5+\sum \limits_{k=2}^{n}\frac{-0.5}{k}+\frac{1}{n+1}+\sum \limits_{k=1}^{n}\frac{0.5}{k+2}$$

nochmal anpassen:

$$=0,5+\sum \limits_{k=2}^{n}\frac{-0.5}{k}+\frac{1}{n+1}+\sum \limits_{k=3}^{n+2}\frac{0.5}{k}$$

Bis auf einige Summanden an Anfang und Ende heben sich die Summen auf:

$$=0,5-0,25+\frac{0,5}{n+1}+\frac{0,5}{n+2}+\frac{1}{n+1}$$

Für n gegen unendlich gehen die Brüche gegen 0 und es bleibt der

Summenwert  0,25.

Answer 3

Die Summe für k=1 bis n ist 1/4 - 1/(2(n+1)(n+2)) (Beweis durch vollst. Induktion).

Davon der Grenzwert für n→∞ ist dann 1/4.

Comments

Die Summe für k=1 bis n ist 1/4 - 1/(2(n+1)(n+2))

wie kommt man darauf?

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Mit Wolfram alpha ;)

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Mit Wolfram alpha ;)

Ja klar - gilt aber nicht ;-)

Answer 4

1/(k(k+1)(k+2))=-1/(k+1)+1/(2(k+2))+1/(2k)

Das ist also eine einfache Teleskopreihe.

Comments

Das ist also eine einfache Teleskopreihe.

$$\sum_{k=1}^{\infty} -\frac1{k+1}+\frac1{2(k+2)}+\frac1{2k} \\ = \left( -\frac12 + \frac16 + \frac12 \right) + \left( -\frac13 + \frac18 + \frac14 \right) +  \left( -\frac14 + \frac1{10} + \frac16 \right) + \dots$$ und was ist daran jetzt 'einfach'?

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Siehe hier:

https://www.mathelounge.de/71555/lineare-algebra-i-k-1-1-k-k-1-k-2-1-4-zeigen?show=71596#a71596