Sei U ⊂ ℝ^k offen und ƒ: U → ℝ^m total differenzierbar. Sei die Ableitung A(x) = f′(x) gegeben durch die Matrix A(x) = (aij(x)) ∈ Mat_mk(ℝ). Beweisen Sie, dass für alle v ∈ ℝ^k \ {0} gilt^1:
∂f/∂v(x)=A(x)v= (∑a1i(x)vi,...,∑a_mi(x)v_i)^†
Folgern Sie, dass für m = 1 gilt: ∂f/∂v(x) = ⟨grad f(x),v⟩.
(Bemerkung: Hier identifizieren wir lineare Abbildungen ℝ^k→ ℝ^m mit Matrizen Mat_mk(ℝ) durch Wahl der
Standardbasis. Dann ist die Gleichheit in „A(x) = (aij(x))“ als eben diese Identifizierung zu verstehen.)
Kann jemand diese Aufgabe lösen?
