Grenzwert der Sekantensteigung

Question

Brauche dringend Hilfe bei der Bearbeitung des Vorletzen Stichpunktes , danke im Voraus.

- Dort ist eine konkrete Funktion \( f(x)=0,3 \cdot x^{4}-2 \cdot x \) gegeben, deren Steigung an verschiedenen Stellen bestimmt werden soll. Es handelt sich um die Stellen a) \( 2, \mathrm{b} \) ) -1
c) 0 und \( \mathrm{d} \) ) 1,5
- Vorgehen bei Aufgabe a): Es muss der Funktionswert an der Stelle \( _{n} 2+\mathrm{h}^{n} \) und an der Stelle \( n^{2} \) berechnet werden. Diese müssen voneinander subtrahiert und durch \( \mathrm{h} \) dividiert werden: \( \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\left(0,3 \cdot(2+h)^{4}-2 \cdot(2+h)\right)-\left(0,3 \cdot 2^{4}-2 \cdot 2\right)}{h} \)
Es handelt sich aber immer noch um einen Differenzenquotienten, d.h. die beiden Punkte sind noch \( _{n} h^{n} \) voneinander entfernt. Wenn man für \( _{n} h^{n} \) eine (kleine) Zahl einsetze erhält man die Sekantensteigung msek. (mittlere Änderungsrate).
- Wenn man für \( _{n} \mathrm{h}^{4} \) eine viel kleinere Zahl einsetzt, die sehr nah an der Null liegt, so nähert sich die Sekantensteigung msek. (mittlere Änderungsrate) der Tangentensteigune mtan. (lokale Änderungsrate) an.
- Setzen Sie daher mit Hilfe Ihres GTRs sehr kleine Zahlen für \( . \mathrm{h}^{\mathrm{u}} \) ein und versuchen Sie den Grenzwert der Sekantensteigungen an den vier verschiedenen Stellen zu ermitteln
- Wenn der Grenzwert gebildet wird, spricht man nicht mehr von einem Differenzenquotienten, sondern von einem Differenzialquotienten.

Answer 1

Es handelt sich aber immer noch um einen Differenzenquotienten

Bei

        \(\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\left(0,3 \cdot(2+h)^{4}-2 \cdot(2+h)\right)-\left(0,3 \cdot 2^{4}-2 \cdot 2\right)}{h}\)

handelt es sich nicht um einen Differenzenquotient, sondern um einen Differntialquotienten. Der Differenzenquotient ist

        \(\frac{\left(0,3 \cdot(2+h)^{4}-2 \cdot(2+h)\right)-\left(0,3 \cdot 2^{4}-2 \cdot 2\right)}{h}\).

Setzen Sie daher mit Hilfe Ihres GTRs sehr kleine Zahlen für h ein

Setzt man \(h=0,1\) in den Differenzenquotienten ein, dann bekomm man

        \(\frac{\left(0,3 \cdot(2+0,1)^{4}-2 \cdot(2+0,1)\right)-\left(0,3 \cdot 2^{4}-2 \cdot 2\right)}{0,1}\).

Setzt man \(h=0,01\) in den Differenzenquotienten ein, dann bekomm man

        \(\frac{\left(0,3 \cdot(2+0,01)^{4}-2 \cdot(2+0,01)\right)-\left(0,3 \cdot 2^{4}-2 \cdot 2\right)}{0,01}\).