Question

Weise rechnerisch nach, dass die Funktion f an der Stelle x=4/3 ein Maximum besitzt.

f(x) = x^3 - 8x^2 + 16x

Answer 1

$$f(x) = x^3 - 8x^2 + 16x\\ f'(x)=3x^2-16x+16\\f''(x)=6x-16$$

\(x=\frac{4}{3}\) ist vorgegeben. Wenn \(f'(\frac{4}{3})=0\) und \(f''(\frac{4}{3})<0\) gilt, liegt ein Maximum vor.

Du musst also nur \(x=\frac{4}{3}\) in f' und f'' einsetzen.

\(f'(\frac{4}{3})=3\cdot(\frac{4}{3})^2-16\cdot\frac{4}{3}+16=0\)

\(f''(\frac{4}{3})=6\cdot\frac{4}{3}-16=-8<0\)

Fertig!   :-)

https://www.desmos.com/calculator/otfu0axrfb

Comments

Musst du x=4/3 herleiten oder ist das vorgegeben?

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Nein, muss ich nicht, es ist vorgegeben :)

Vielen lieben Dank!!!

Du erklärst es nachvollziehbar, verständlich!

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Danke für die Rückmeldung, liebe Babsi.    :-)

Answer 2

kurvendiskussion durchführen

f(x)=x³-8*x²+16*x  abgeleitet

f´(x)=3*x²-16*x+16

f´´(x)=6*x-16

f´(x)=0=3*x²-16*x+16 dividiert durch 3

0=x²-16/3*x+16/3  hat die Form 0=x2+p*x+q Nullstellen nit der p-q-Formel

x1,2=-p/2+/-Wurzel((p/2)²-q)  mit p=-16/3 und q=16/3

x1,2=-(-16)/6+/-Wurzel((-16/6)²-16/3)=8/3+/- 1 1/3

x1=8/3+4/3=12/3=4  und x2=8/3-4/3)=4/3

nun prüfen,ob Maximum oder Minimum

f´´(4)=6**4-16=24-16=8>0 also ein Minimum

f´´(4/3)=6*4/3-16=8-16=-8<0 also ein Maximum

Hier Infos Kuvendiskussion,vergrößern und/oder herunterladen

Text erkannt:

a:
\( \left(1+\left(y^{\prime}\right)^{2}\right. \)
\( \Omega \)
0

 ~plot~x^3-8*x^2+16*x;[[-10|10|-10|10]];x=4/3;x=4~plot~

Comments

Bei der pq formel setzte ich aus!

Da komme ich nicht auf dein Ergebnis...

Ich komme auf wurzel aus 1/9 minus 16/3...

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Bruchrechnung !!

man teilt einen Bruch durch einen Bruch,indem man ihn mit dem kehrwert mal nimmt.

0=3*x²-16*x+16

0=x²-16/3*x+16/3

p=-16/3 und q=16/3

x1,2=-((-16/3)/(2/1))+/- Wurzel((-16/3)/(2/1))²-16/3)

x1.2=16*1/(3*2)+/- Wurzel((-16*1/(3*2)²-16/3)

x1,2=16/6+/- Wurzel(-16/(3*2)²-16/3)

x1,2=8/3 +/- Wurzel(-16/6)²-16/3)

x1,2=8/3+/-Wurzel(-8/3)²-16/3)

x1,2=8/3+/- Wurzel(64/9-48/9)     → -16/3*(3/3)=-48/9

x1,2=8/3+/- Wurzel(16/9)

x1,2=8/3+/-4/3

x1=8/3+4/3=12/3=4

x2=8/3-4/3=4/3

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x1,2=-((-16/3)/(2/1))+/- Wurzel((-16/3)/(2/1))²-16/3)

Muss es nicht wurzel ((-16/3)/(4/1))^2 -16/3) heißen? Ich muss doch p^2/4 und nicht durch 2 rechnen.

Und noch dazu kann ich aus einer negativen Zahl keine wurzel ziehen!

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Da steht Wurzel(-8/3)²-16/3)

(-8/3)²=64/9   (-8)²=64  → (-8)*(-8)=64

Vorzeichenregel

Minus mal Minus ergibt Plus

Wurzel(64/9-16/3)  nun 16/3 erweittert mit 3/3=1 ändert den Wert nich

-16/3*3/3=48/9

64/9-48/9)=16/9

Wurzel(16/9)=Wurzel(16)/Wurzel(9)=4/3

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Ich komm auf 16/9 -49/9 in der wurzel

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Ich gebe auf.

Laß dir das von einen Anderen erkläeren.